Svojstva trigonomertijskih funkcija

Parnost i Neparnost

Točke T₁=E(t) i T₁=E(-t) simetrične su s obzirom na os Ox. Zato se njihove aspcise podudaraju, a ordinate razlikuju u predznaku.

cos(-t) = cos(t) => parna funkcija
sin (-t) = - sin(t) => neparna funkcija
tan (-t) = - tan(t) => neparna funkcija
ctg (-t) = - ctg(t) => neparna funkcija

Periodičnost funkcija sinus i kosinus

Za funkciju f kažemo da ja periodična ako postoji realan broj P>0 takav da za svaki t ? D(f) vrijedi f(t)=f(t+P). Broj P zove se period funkcije f. Najmanji takav broj P (ukoliko on postoji) zove se temeljni period funkcije f.

Temeljni period funkcija sinus i kosinus je 2π, dok je temeljni period funkcija tangens i kotangens π

Brojevima t i t+2kπ odgovara ista točka T na brojevnoj kružnici.

Točke T₁ = E(t) i T₂ = E(t+π) simetrične su s obzirom na ishodište O. Zato T₁, O, T₂ leže na istom pravcu. Drugim riječima pravci OT₁ i OT₂ se podudaraju, pa se podudara i vrijednost tangensa odnosno kotangensa pa vrijedi : tg(t+π)=tg t i cg(t+π)=cg t za svaki t za koji su funkcije definirane.

Inverzna funkcije

Arkus sinus: za svaki broj y iz intervala [-1, 1] postoji samo jedan kut α za koji vrijedi sin α = y i . Taj kut se označava s α = arc sin y.

 

 

 

Arkus kosinus: za svaki broj x iz intervala [-1, 1] postoji samo jedan kut α za koji vrijedi sin α = x i . Taj kut se označava s α = arc sin x.

 

 

 

 

Arkus tangens: za svaki realni broj y postoji samo jedan kut α za koji vrijedi tan α = y i . Taj kut se označava s α= arc tan y.

 

 

 

Trigonometrijski identiteti

   Četiri trigonometrijske funkcije međusobno su povezane: znajuči vrijednost jedne od njih; možemo odrediti vrijednost i bilo koje druge. Također postoje veze između vrijednosti iste trigonometrijske funkcije izračunate za različite vrijednosti argumenta. Kao posljedica toga, naučiti ćemo da trigonometrijske funkcije zadovoljavaju velik broj interesantnih i neobičnih identiteta, jednakosti koje su istinite za svaku vrijednost argumenta. Ti su identiteti ključni u postupku sređivanja tringonometrijskih izraza, rješavanju trigonometrijskih jednadžbi i različitim primjenama trigonometrije.

Adicijski teorem

Kosinus zbroja i razlike

cos(t+s) = cos(t)cos(s)-sin(t)sin(s)
cos(t-s) = cos(t)cos(s)+sin(t)sin(s)

Sinus zbroja i razlike

sin(t+s)=sin(t)cos(s)+cos(t)sin(s)
sin(t-s)=sin(t)cos(s)-cos(t)sin(s)

Tangens zbroja i razlike

Neka su t i s realni brojevi tako da je , . Ako je k tome , onda vrijedi . A za vrijedi .

Formule redukcije za sinus i kosinus funkcije

cos(π - t) = - cos t
cos(π + t) = - cos t
cos( - t) = sin t

cos( + t) = - sin t
sin(π + t) = - sin t
sin(π - t) = sin t
sin(+ t) = cos t

sin( - t) = cos t

Univerzalna zamjena

Sve se tringonometrijske funkcije daju iskazati kao racionalne funkcije varijable tg .

, , .

za sve realne brojeve za koje su obje strane identiteta definirane.

 

Sinusoida

Funkciju zovemo sinusoida. Ovdje je C>0 pozitivna konstanta koju zovemo amplituda , se naziva kružna frekfencija, a fazni pomak. Sinusoida je periodična funkcija. Njen period je .