π es Transcendental

Un número transcendental es uno que no se puede expresar como solución de ax^n+bx^(n-1)+... +cx^0=0 donde todos los coeficientes son números enteros y n es finita. Por ejemplo, x=sqrt(2), que es irracional, se puede expresar como x^2-2=0. Esto demuestra que la raíz cuadrada de 2 es nontranscendental, o algebraico.

Es muy fácil probar que un número no es transcendental, sino que es extremadamente difícil probar que es transcendental. Esta hazaña finalmente fue lograda para el π por Ferdinand von Lindemann en 1882. Él basó su prueba en los trabajos de dos otros matemáticos: Charles Hermite y Euler

En 1873, Hermite probó que la e constante era transcendental. Combinando esto con la ecuación famosa e^(i*π)+1=0 de Euler, Lindemann probó que el hecho que e^x+1=0 requirió x ser transcendental. Puesto que fue aceptado que era algebraico, π tuvo que ser transcendental para hacer i*π transcendental.