π est Transcendental

Un nombre transcendental est un qui ne peut pas être exprimé comme solution d'ax^n+bx^(n-1)+... +cx^0=0 où tous les coefficients sont des nombres entiers et n est fini. Par exemple, x=sqrt(2), qui est irrationnel, peut être exprimé comme x^2-2=0. Ceci prouve que la racine carrée de 2 est nontranscendental, ou algébrique.

Il est très facile de montrer qu'un nombre n'est pas transcendental, mais il est extrêmement difficile de montrer qu'il est transcendental. Cet exploit a été finalement accompli pour le π par Ferdinand von Lindemann en 1882. Il a basé sa preuve sur les travaux de deux autres mathématiciens: Charles Hermite et Euler

En 1873, Hermite a montré que le e constant était transcendental. Combinant ceci avec l'équation célèbre e^(i*π)+1=0 d'Euler, Lindemann a montré que le fait qu'e^x+1=0 a exigé de x d'être transcendental. Puisqu'on l'a accepté que j'étais algébrique, π a dû être transcendental afin de faire l'i*π transcendental.