π es irracional

Un número racional es uno que se puede expresar como la fracción de dos números enteros. Los números racionales convertidos en la notación decimal se repiten siempre en alguna parte en sus dígitos. Por ejemplo, 3 es un número racional pues puede ser escrito como 3/1 y en la notación decimal se expresa con una cantidad infinita de ceros a la derecha del punto decimal. 1/7 es también un número racional. Su notación decimal es 0,142857142857..., una repetición de seis dígitos. Sin embargo, la raíz cuadrada de 2 no se puede escribir pues la fracción de dos números enteros y es por lo tanto irracional.

Para muchos siglos antes de la prueba real, los matemáticos habían pensado ese π era un número irracional. La primera tentativa en una prueba estaba por Johaan Heinrich Lambert en 1761. Con un método complejo él probó que si x es racional, el tan(x) debe ser irracional. Sigue que si el tan(x) es racional, x debe ser irracional. Desde tan(π/4)=1, π/4 debe ser irracional; por lo tanto, el pi debe ser irracional.

Mucha gente vio la prueba de Lambert como demasiado simplificado una respuesta para un problema tan complejo y duradero. En 1794, sin embargo, A. M. Legendre encontró otra prueba que movió hacia atrás a Lambert para arriba. Esta prueba nueva también fue hasta a probar que π^2 era también irracional.