π est irrationnel

Un nombre raisonnable est un qui peut être exprimé comme fraction de deux nombres entiers. Les nombres raisonnables convertis en notation décimale se répètent toujours quelque part dans leurs chiffres. Par exemple, 3 est un nombre raisonnable car il peut écrire en tant que 3/1 et en notation décimale il est exprimé avec une quantité infinie de zéros à la droite de la virgule décimale. 1/7 est également un nombre raisonnable. Sa notation décimale est 0,142857142857..., une répétition de six chiffres. Cependant, la racine carrée de 2 ne peut pas être écrite car la fraction de deux nombres entiers et est donc irrationnelle.

Pendant beaucoup de siècles avant la preuve réelle, les mathématiciens avaient pensé ce π était un nombre irrationnel. La première tentative de preuve était par Johaan Heinrich Lambert en 1761. Par une méthode complexe il a montré que si x est raisonnable, le tan(x) doit être irrationnel. Il suit que si le tan(x) est raisonnable, x doit être irrationnel. Depuis tan(π/4)=1, π/4 doit être irrationnel; donc, pi doit être irrationnel.

Beaucoup de gens ont vu la preuve de Lambert comme trop simplifié une réponse pour un problème si complexe et longévital. En 1794, cependant, A. M. Legendre a trouvé une autre preuve qui a soutenu Lambert. Cette nouvelle preuve est également allée jusque montrer que π^2 était également irrationnel.