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Conical curves
To know what are curved conical first we needed
to know what are cones
Cone is the result of the rotation of a triangle
rectangle around one of its cathetuses
Now that we already know what are cones
we can know its conical curves
The conical curves are four, that have origin
at cuts done in cones.The given names to the four conical curves
are:
Circumference
Ellipse
Parable
Hyperbole
Circumference
The circumference occurs when, in the cone,
we make a cut parallel to the base.
Circumference
Parable
Hyperbole
Ellipse
Return
Forward
Ellipse
The ellipse occurswhen , in the cone, we make
a cut oblique to its base.
Parable
The parable occurs when, the cut is parallel
to one of the straight lines that link the main vertex to the generatrix
of the cone
This is the generatrix
Parable
The parables also have another meaning, they
can mean small stories, as the ones of the Bible.
Hyperbole
The hyperbole also has two meanings, you should
already have said sentences as those:
I am dying from hunger ", I am " dead " tired
In fact you are not dying from hunger, nor
of fatigue, these are hyperboles in our language. Returning to the mathematics,
hyperbole occur when we cut a double cone parallelly to its axis.
The 2nd degree equation:
That are Flash screenshoots
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Some history
Bhaskara
BHASKARA AKARIA
HISTORY, LIFE and its DISCOVERIES
Bhaskara Akaria was born in 1114, in India,
and he died in 1185. He was
very smart calculating with numbers, even with big numbers never using
computers or calculating machines (that didn't exist at that
time...). He
wrote two books that are famous: Lilavati (that was written in honor
to his
daughter) and Vija Ganita. These books contain many problems on equations
of
1st and 2nd degree, radicals, measures with triangles rectangles and
a lot
of more things. We know that the "Formula of Bhaskara " was not
developed
by him, but it was through him that became well-known.
René Descartes
René Descartes (in Latin Cartesius), philosopher, mathematician
and French naturalist, was born in France in 1596 and he died in 1650.
He studied in a Jesuit school in La Flèche and he graduated in Law
in Poitiers. He devoted with passion to Medicine and he enrolled in the
army of Mauricio of Nassau. He traveled a lot and in Holland he wrote
the larger part of his works. In 1649 he went to Stockholm, under the protection
of the Queen Cristina of Sweden, and in a few months, he died.
Descartes believed, as Galileu, that the key for
the understanding of the universe was its mathematical structure. His method
consisted in subdividing any problem into its minimum parts, to separate
" the pieces that constitute a clock ", reducing everything until the fundamental
components show its relationships. This emphasis in the analytic Cartesian
thought became an essencial characteristic of the modern scientific thought.
Cartesius facilitated the man to go to the moon, but also this form of
separating in small parts the knowledge, leaded to the fragmentation of
the knowledge that we have today. When joining his metaphysics ideas
with his scientific researches, he wrote his most famous book:' Discours
de la méthode pour bien conduire sa raison et chercher la vérité
dans les sciences ". This text made the introduction of three scientific
rehearsals: Dioptrique, Méteores e Geométrie. In this
last rehearsal, Geométrie, Descartes joined the Algebra and the
Geometry so one serves the other and, using the Cartesian plan with its
coordinates, is possible to represent equations in it. Descartes, later
with the work of Pierre deFermat, were the founders of the Analytic Geometry.
And it is through it that you can represente the conical graphically, among
them the parable.
"Poem" Conical Curves
Conical curves
I see the time passing through the tiny hole
of a sand-glass.
Between the two cones,
so fast as a second
but slow like snow flakes geometrically, severely
disposed, it goes away.
The created images disappear and mist my dream...
In the hour-glass, grit by grit
the sand runs through
the narrow space of the axis
and only I, egoistically imagine, feel,
and I know it isn’t real in the hour-glass...
But I would like to share with you these feelings.
Time goes by
time streams,
goes fast,
and again, grit by grit,
like dot by dot,
the sand falling down form the time border.
It’s the same in the space:
the curves form by sequential points, interception
of planes,
it’s the outline,
the return,
the limitation of a space.
It’s a cut, a cut off in a cone,
and I feel like carving small figures in the
clouds,
and these clouds are double cones,
frustums patiently floating in the sky.
These curves appear clear, limpid:
circumference, ellipse, parabola, hyperbole,
in the confusing sea of the ideas, just the
border line seems to be stable,
the axis not negligent of the sand-glass
reduce to simple second degree equations its
complexity.
Konos, its section commands the conic curves,
each one very proud of its drawing.
If the cut is parallel to the basis,
it’s a perfect circle that appears.
If the axis of the time and its cut play perpendicularly,
the dots of the border are equally distant
from the center,
and the circumference comes up,
you can see it very easily.
It’s the first conic,
simple as a wheel,
perfect like a drawing of the sun,
powerful as the O letter.
But it is not enough,
We want more...
If the cut is inebriated, oblique,
it’s the ellipse that appears,
the flattened figure,
without poles, just focal points
whose sum represent always
and constantly k...
Its axis is the x,
its focus always belong to the ellipse
and the distance between them
and the elliptical curve maintain k
for ever and ever...
Forgetful the ellipse,
makes you dream and suspire
but doesn’t let you finish what you admire,
the beautiful garden blooming of different
flowers ...
What a pity, it’s is not enough,
we want something more.
If the section plays a hide-and seek game
with my imaginary axis,
and the cut is parallel to the generatrix,
another curve appears,
gloriously, limiting, turning around, hyperboling...
Simple hyperbole,
but what exaggerated curve,
excess of equilibrium,
it is the sand-glass complete.
Double time,
comings and goings,
but just comes back
if the time is over and the hour-glass
is turned upside down.
But it is still not enough...
Time is still passing
and the parabola is coming.
Generatrix: create a plane that doesn’t touch
you
but reaches me, my heart and my soul, my personal
sand-glass.
........................................................................................................
Stop parabola because the time flows out,
flies to fast.
There is a symmetric axis,
a vertex pointed,
it’s the second degree equation:
ax2 + bx + c = 0
To compare, to crystallize curves
like a smooth whisper,
suspend the grit of sand and so –
the time stops.
Stop parabola,
compare my dream
to the time passed,
to the future,
to the produced – what a pity ! – is so poor
to the dreamed – how nice ! – so rich...
It’s seems to be just a dream well realized,
Stop parabola,
maintain yourself real,
don’t’ be just my dream,
but became immortal for my kids.
Ana Maria Petraits Liblik
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We will communicate
As curvas cônicas
Para sabermos o que são curvas cônicas
primeiro precisamos saber o que são cones
Cone é o resultado da rotação
de um triângulo retângulo em torno de um de seus catetos
Agora que já sabemos o que são
cones podemos conhecer suas curvas cônicas
As curvas cônicas são quatro,
que têm origem de cortes feitos em cones.Os nomes dados às
quatro curvas cônicas são:
Circunferência
Elipse
Parábola
Hipérbole
Circunferência
A circunferência se dá, no cone,
quando fazemos um corte paralelo à base.
Elipse
A elipse se dá, no cone, através
de um corte oblíquo à sua base.
Parábola
A parábola se dá quando, o corte
for paralelo à uma das retas que ligam o vértice principal
à geratriz do cone
As parábolas também têm
outro significado, elas podem significar pequenas histórias, como
as da Bíblia.
Hipérbole
A hipérbole também tem dois significados, você já deve Ter dito frases como essas:
"Estou morrendo de fome", "Estou morto de cansaço"
Na realidade você não está
morrendo de fome, nem de cansaço, isto são hipérboles
na nossa língua. Voltando à matemática, hipérbole
é quando cortamos um cone duplo paralelamente ao seu eixo.
A equação do 2º grau
desculpe mas são cenas do filme em Flash...
Um pouco de história
Bhaskara
Bhaskara Akaria nasceu em 1114, na Índia, e morreu em 1185.
Ele era
muito habilidoso quando se tratava de cálculos com números
grandes mesmo não
usando computadores ou máquinas de calcular (que não
existiam na época...).
Escreveu dois livros que ficaram famosos: Lilavati (que foi escrito
em
homenagem à sua filha) e Vija Ganita. Estes livros contém
muitos problemas
sobre equações de 1º e 2º grau, radicais,
medidas com triângulos retângulos
e outras coisas mais. Apesar de sabermos que a "Fórmula
de Bhaskara" não é
de sua autoria, foi através dele que se tornou conhecida.
René Descartes
Rene Descartes (em latim Cartesius), filósofo, matemático
e naturalista francês, nasceu na França em 1596 e morreu em
1650. Estudou em um colégio jesuita em La Flèche e formou-se
em Direito em Poitiers. Dedicou-se com paixão à medicina
e alistou-se no exército de Mauricio de Nassau. Viajou muito
e na Holanda escreveu grande parte de suas obras. Em 1649 foi para Estocolmo,
hospede da Rainha Cristina da Suécia, e poucos meses depois morreu.
Descartes acreditava, partindo de Galileu, que
a chave para a compreensão do universo era a sua estrutura matemática.
Seu método, pois, consistia em subdividir qualquer problema a seus
níveis mínimos, separar "as peças que constituem um
relógio", reduzindo tudo até seus componentes fundamentais,
para que então, se percebessem suas relações. Esta
ênfase no pensamento cartesiano analítico tornou-se uma característica
essencial do moderno pensamento científico. Foi Cartesius que possibilitou
o homem ir para a lua, mas também esta forma de separar em pequenas
partes o saber, levou a fragmentação do conhecimento que
temos hoje. Ao juntar as suas idéias metafísica com
suas pesquisas científicas, escreveu o seu livro mais famoso:'Discours
de la méthode pour bien conduire sa raison et chercher la vérité
dans les sciences". Este texto fazia a introdução de três
ensaios científicos: Dioptrique, Méteores e Geométrie.
Neste último ensaio, Geométrie, Descartes junta a Álgebra
e a Geometria de modo que uma sirva a outra e, utilizando o plano cartesiano
com suas coordenadas é possível representar equações
nele. Descartes, com posteriormente o trabalho de Pierre de Fermat, foram
os fundadores da Geometria Analítica. E é através
dela que podem ser representadas graficamente as cônicas, entre elas
a parábola.
Leia a poesia "Cônicas"
CÔNICAS
Vejo o tempo que passa através do minúsculo orifício
da ampulheta,
entre dois cones,
tão rápido quanto o segundo
mas tão lento como paina caindo ao sabor do vento.
São como flocos de neve geometricamente, mas não rigidamente
distribuídos....
Eles se dissipam sob meu olhar e enevoam minha imagem.
Na ampulheta,
de grão em grão
a areia que desce
percorre o exíguo espaço de um eixo,
que só eu, egoisticamente,
imagino,
percebo,
e que é irreal na ampulheta.
Mesmo assim, quero dividir,
quero tentar compartilhar.
Tempo corre,
tempo escorre,
passa ligeiro,
mas é de grão em grão,
como ponto a ponto
a areia descendo
forma a linha do tempo.
É o mesmo no espaço,
as curvas se formam por pontos seqüenciais, interseção
de planos.
É contorno, é retorno, é limitar um espaço.
É um corte, recorte de um cone truncado,
um cone duplo secionado, reto.
Estas curvas aparecem límpidas, cristalinas:
circunferência, elipse, parábola, hipérbole,
num mar confuso de idéias, apenas a linha do tempo parece estável.
O eixo nada desleixo da ampulheta
reduz a simples equações de segundo grau sua complexidade.
É A, B ou C? É D, E ou F?
É Ax+Bxy+Cyz+Ey+F=0
Kónos, sua seção determina as cônicas,
cada uma muito cônscia de si.
Se o corte é paralelo à sua base,
é um círculo perfeito.
Se o eixo do tempo e seu corte brincam perpendiculares,
os pontos do contorno eqüidistam do centro,
a circunferência nasce.
Primeira cônica fecunda, simples como a roda,
perfeita como a imagem do sol,
poderosa como a letra OOOOOOO.....
Bastaria este elo, mas não, quer-se mais....
Se o corte no cone é ébrio, oblíquo,
é a elipse, a figura achatada,
sem pólos, só focos cujas somas representam sempre, sempre
e constantemente k.
Seu eixo é o x, seus focos lhe pertencem e
a distância entre eles e a curva elíptica
mantém-se k, para sempre e sempre.
Omissa esta elipse,
deixa entrever sonhos e sussurros e não os cumpre...
Que pena, não basta, quer-se mais e mais...
Se ao contrario a seção brinca de pega-pega,
esconde-esconde,
com meu eixo imaginário,
ela torna-se paralela a ele e outra curva surge gloriosa
limitando, contornando, hiperbolizando.
Simples hipérbole
mas que exagero de curva,
excesso de equilíbrio
é a ampulheta completa.
Duplicidade de tempo,
é o vai e vem,
mas só volta
se um tempo acaba e
a ampulheta é virada.
Mas ainda não basta....
O tempo passando
e a parábola chegando.
Gera geratriz um plano que não te toca
e corta meu tempo, minha ampulheta, me toca.
Para parábola
que o tempo escorre, voa.
Há um eixo simétrico,
um vértice insensível.
É só A, B e C; é a função ax+by+c
Comparar, cristalizar curvas
como que com leve sussurro, suspiro
suspende-se o grão de areia e enfim
- o tempo pára -
Pára parábola
compare meu sonho
ao tempo passado,
ao tempo futuro,
ao realizado - que pena - tão pobre
ao idealizado - que lindo - tão rico...
É só um sonho bem sonhado,
pára parábola
mantenha-se real, deixe de ser apenas um sonho
e torne-se imortal.
Ana Maria Petraits Liblik
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