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Wir können Licht nicht nur als elektromagnetische Welle beschreiben, sondern auch als Teilchen (genannt Photonen). Was passiert aber, wenn ein Teilchen an einem sehr massereichen Stern vorbeifliegt? - Richtig, es wird durch die Gravitation angezogen. Passiert dies auch mit Licht? Wird Licht von der Gravitation beeinflusst?
Die Wissenschaftler haben sich bereits im 18. Jahrhundert über dieses Problem Gedanken gemacht. Einen dieser Gedanken können wir in "The Philosophical Transactions of The Royal Society of London" ("Die philosophischen Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft Londons") (Vol. XV) in der Arbeit "Distance and Magnitude of the Stars" ("Entfernung und Größe der Sterne") von John Mitchell (verfasst 1784) finden:
"Nehmen wir nun einmal an, Lichtteilchen würden genauso wie alle anderen uns bekannten Körper angezogen; das heißt, von Kräften, welche das selbe Verhältnis zu ihrer Vis Interiae besitzen; wobei kein begründeter Zweifel bestehen kann, dass Gravitation, soweit wir wissen, oder alle Gründe haben zu glauben, ein universelles Naturgesetz ist." (Seite 466*)
Was glaubst Du passiert, wenn ein leuchtender Körper eine riesige Masse besitzt? Vielleicht hast Du ja die gleichen Gedanken wie Peter Simon La Place**:
"Ein leuchtender Stern von gleicher Dichtigkeit mit der Erde, dessen Durchmesser 250mal größer wäre, als der der Sonne, würde, vermöge seiner Attraction, keinen von seinen Stralen bis zu uns kommen lassen; es ist daher möglich, daß die größten leuchtenden Körper des Weltalls, eben aus dem Grunde unsichtbar sind."
Dieses war die warscheinlich erste Beschreibung eines Schwarzen Lochs.
Ein Schwarzes Loch ist ein Körper mit einer so hohen Masse, dass durch seine Gravitation noch nicht einmal Licht von ihm entkommen kann. Diese starke Gravitation erzeugt ein weiteres Problem, weil sie auch auf das Schwerze Loch selber wirkt. Die Gravitationskraft ist so stark, dass noch nicht einmal die subatomaren Teilchen dem Druck Widerstehen können. Das Schwarze Loch fällt in einen einzigen Punkt zusammen, der sämtliche Masse des Schwarzen Lochs enthält. Er wird Singularität genannt.
Der Radius innerhalb dessen die Gravitation so stark ist, dass nichts dem Schwarzen Loch entweichen kann nennt man den Schwarzschildradius. In der Relativitätstheorie hält die Zeit in dieser Entfernung an. Weil uns nichts von innerhalb des Schwarzschildradius erreichen kann, wird er auch Ereignishorizont genannt.
Normalerweise entsteht ein Schwarzes Loch wenn ein riesiger Stern seinen gesammten Treibstoff verbrannt hat und die Hitze nicht mehr dem Gravitationsdruck entgegenhalten kann. Winzige Schwarze Löcher könnten auch während des Urknalls entstanden sein.
"The Hole Man" ("Der Lochmann") ist eine kurze Kriminalgeschichte von Larry Niven, die einen Hugo Award gewonnen hat. Sie handelt von einer Forschergruppe, die eine verlassene Alienbasis auf dem Mars endeckt. In dieser Basis befindet sich ein Kommunikationsapperat, der mit Hilfe eines Schwarzen Minilochs Gravitationswellen aussendet. Lear versucht heauszufinden, wie der Kommunikator der Aliens funktioniert. Er und Chaptain Childrey können sich nicht leiden. Captain Childrey glaubt Lears Hypothese, dass sich ein schwarzes Miniloch in dem Kommunikator befindet, nicht. Schließlich beweist Lear seine Hypothese, indem er die elektromagnetischen Felder deaktiviert, und das Schwarze Miniloch genau durch Captain Childreys Körper fallen lässt. Childrey stirbt eine Stunde später.
Wir werden das Schwarze Loch in dem Kommunikator für Beispielrechnungen auf unseren Webseiten verwenden. Wir finden es nützlich es als einen Rahmen für unsere Berechnungen zu benutzen, um verschiedene Effekte eines Schwarzen Lochs zu zeigen.
Anmerkung: Niven hat diese Geschichte geschrieben (copyright 1973), bevor die Hawkingstrahlung im März 1974 entdeckt wurde. Er konnte also nicht wissen, dass nicht nur die Gravitation eines Schwarzen Lochs tödlich sein kann, sondern auch seine Strahlung. "The Hole Man" ist eine sehr gut recherchierte Geschichte, wie unsere Berechnungen zeigen werden.
[Quelle: Niven, Larry. "The Hole Man." Anglog Science Fiction & Fact Magazine. (c) 1973.]
Die Größe eines Schwarzen Lochs ist der Schwarzschildradius, auch Ereignishorizont genannt. Sobald irgendetwas jenseits davon ist, ist es weg; es wird unvermeindlich in die Singularität in der Mitte des Schwarzen Lochs fallen. Die Herleitung des Schwarzschildradius' ist sehr einfach.
Der Schwarzschildradius befindet sich da, wo sogar die kinetische Energie eines Photons nicht mehr ausreicht, um von dem Schwarzen Loch zu entkommen. Die kinetische Energie wird durch folgende Formel beschrieben:
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Klassisch betrachtet können wir annehmen, dass ein Photon von der Singularität im Zentrum des Schwarzen Lochs mit Lichtgeschwindigkeit ausgesannt wird und während es einen immer größeren Abstand gewinnt, wird seine kinetische Energie langsam in potenzielle Energie umgewandelt. Nichts kann jenseits des Radius gelangen, wo die potentielle Energie eines Photons genauso groß ist, wie seine kinetische Energie war, als es von der Singularität ausgesendet wurde.
Die potenzielle Energie, die ein Teilchen in der Entfernung R von einem Schwarzen Loch hat, wird durch Newtons Formel beschrieben:
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Hier ist es wichtig anzumerken, dass die Geschwindigkeit von Licht im Vakuum konstant ist. Du wustest das wahrscheinlich schon. Das heißt, dass ein Photon nicht abgebremst werden kann, auch wenn es Energie verliert. Ist das ein Widerspruch? Nein! Ein Photon wird nicht verlangsamt, sondern seine Farbe wird ins energieärmere Rot verschoben, und damit verliert es auch kinetische Energie. Also können wir die beiden Energieformeln von oben gleichsetzen:
| m: Masse der Photonen, die von der Singularität ausgesandt werden | |
c: Lichtgeschwindigkeit;  |
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| G: Gravitationskonstante; |  |
| M: Masse des Schwarzen Lochs | R: Schwarzschildradius |
Das war einfach. Jetzt wissen wir wie groß der Schwarzschildradius ist. Obwohl dies nur eine klassische Herleitung ist, ist das Ergebnis die exakte Formel.
Die Masse der Erde ist ungefähr 
.
Ein Schwarzes Loch der Erdmasse hätte einen Durchmesser von weniger als zwei Zentimetern!!
Das Schwarze Loch in "The Hole Man" hat eine Masse von 
.
Das ist immerhin schon die Masse eines ganzen Berges. Also, wie groß (oder klein) ist dieses Schwarze Loch? Eine weitere Rechnung:
Das ist viel kleiner als ein Atom!
Hierfür braucht man ein bisschen Quantenphysik.
Wir erklähren es:
In der Quantephysik ist der leere Raum keineswegs leer. In ihm entstehen und verschwinden ständig Teilchen. Sie entstehen immer in Paaren; ein Teilchen und ein Anti-Teilchen, zum Beispiel ein Elektron und ein Positron oder ein Photon (ein Lichtteilchen) und ein zweites Photon mit entgegengesetztem Spin und Impuls. Diese Teilchen werden "virtuelle Teilchen" genannt. Sie existieren nur für eine sehr kurze Zeit:
; wobei f ihre Frequenz ist.
Dies folgt aus dem Heisenberg'schen Unbestimmtheitsprinzip:
wobei 
die Energie eines virtuellen Teilchenpaares ist und
h die Planck-Konstante.
(eine Naturkonstante, 
).
Das Heisenberg'sche Unbestimmtheitsprinzip:
Die Energie eines Photons:
Die Energie eines Photonenpaares:
Beispielrechnung:
Die Lebenszeit eines Photons von orangem Licht (
):
(80 Attosekunden, eine Attosekunde ist ein Millionstel eines Millionstels eines Millionstels einer Sekunde.)
Die Vakuumenergie ist nach Definition null. Also ja, die virtuelle Teilchen verletzen den Energieerhaltungssatz. Aber die Teilchen verschwinden gleich danach wieder (z. B. nach achtzig Attosekunden für ein photon orangen Lichts) und geben die Energie dem Vakuum zurück.
Wenn ein Teilchen eines virtuellen Teilchenpaares in ein schwarzes Loch fällt und das andere nicht, können sie nicht zu Energie zurückreagieren und das entkommende wird ein reales Teilchen. Ein "Energieloch" bleibt im Vakuum zurück. Irgendwie muss dieses "Loch" in der Vakuumenergie wieder gefüllt werden - auch in der Quntenphysik kann der Energieerhaltungssatz nicht für längere Zeit verletzt werden. Also zieht dieses "Loch" Energie von dem Schwarzen Loch. Aber was für Energie hat ein Schwarzes Loch ohne Drehimpuls oder Ladung? Seine Masse! Folglich verliert das Schwarze Loch etwas seiner Masse nach Einsteins berühmten Formel E = mc².
Vielleicht ist Dir aufgefallen, dass das kein Beweis ist, dass die Energie aus dem Schwarzen Loch stammt. Tatsächlich können wir es nicht wirklich beweisen, ohne eine Menge Quantenphysik zu benutzen (Es beruht auf dem Tunneleffekt). Du musst es einfach als wahr schlucken. Ein anderer, aber dennoch ähnlicher Weg, den Masseverlusst des Schwarzen Lochs zu erklähren, ist, dass das Teilchen, das in das Schwarze Loch fällt, eine negative Masse bekommt und daher die Masse des Schwarzen Lochs abnimmt...
Genau! Wenn ein virtuelles Teilchen in ein Schwarzes Loch fällt und das andere entkommt, entkommt es als Hawkingstrahlung vom Schwarzen Loch. Diese Strahlung zeigt dieselbe Verteilung wie Hohlraumstrahlung. Dieses lässt vermuten, dass Schwarze Löcher auch eine Temperatur haben. Diese Tatsache wurde 1972 von Bekenstein bewiesen, bevor Hawking entdeckte, dass Schwarze Löcher auch Temperaturstrahlung aussenden.
Wie man sieht scheint die Strahlung nur aus dem Innern des Schwarzen Lochs zu kommen; in Wirklichkeit entsteht sie jedoch gerade außerhalb des Schwarzen Lochs.
Irgendwie muss die Energie für die Hawkingstrahlung doch aus dem Schwarzen Loch kommen, oder? Das Einzige, das aus dem Innern jenseits des Schwarzschildradius gelangt, ist die Gravitation. Daher muss Hawkingstrahlung auf der Gravitation beruhen.
Wenn etwas gleichmäßig beschleunigt wird, zum Beispiel durch Gravitation, bekommt es kinetische Energie. Diese Energie ist proportional zur Masse und zum Weg auf dem es beschleunigt wird. Du magst fragen, wie ein Photon beschleunigt werden kann, wenn es sich immer mit Lichtgeschwindigkeit bewegt. Okay, es wird nicht beschleunigt, aber seine Frequenz ändert sich, was ihm eine höhere Energie gibt.
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(1) |
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| m: Masse | a: Gravitationsbeschleunigung (Ortsfaktor) | d: Entfernung, die die Masse m fällt |
Die Masse ist in unserem Fall die eines virtuellen Photons und die Entfernung ist der Weg den das Photon in seiner Lebenszeit zurücklegt. Weil virtuelle Photonen eine so kurze Lebensdauer haben, kommen sie in dieser Zeit nicht besonders weit (24 Nanometer für ein virtuelles Photon orangen Lichts). Also können wir die Gravitation als konstant annehmen und diese Formel benutzen.
1. Photonen bewegen sich immer mit Lichtgeschwindigkeit; die Entfernung, die ein virtuelles Photon in seiner Lebenszeit zurücklegt ist also:
Wir haben schon die Lebensdauer 
eines virtuellen Photons ausgerechnet:
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(1) |
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2nd:Wir können die Gravitationsbeschleunigung berechnen, indem wir Newtons Gravitationsgesetz verwenden:
| F: Gravitationskraft |
| r: Entfernung der beiden Massen |
| G: Gravitationskonstante |
Ein Photon des virtuellen Photonenpaares muss in das Schwarze Loch fallen, um Hawkingstrahlung zu produzieren. Daher Müssen beide dicht am Schwarzschildradius entstehen. Als eine Näherung können wir den Schwarzschildradius als Abstand zwischen dem Photonenpaar und dem Schwarzen Loch ansehen. Weißt du noch die Gleichung für den Schwarzschildradius?
Setzen wir sie hier ein:
Nun setzen wir dieses in Greichung (2) ein:
(3)
3rd: Lass uns nun versuchen m zu ersetzen:
Wir kennen Einsteins berühmte Gleichung:
Die Energie eines Photons ist (wie wir bereits benutzt haben):
Die Energie eines virtuelle Photonenpaares ist also:
Wir können dieses in die Formel für die Masse einsetzen:
Und dann in unsere Hauptgleichung (3):
Dies sollte die Energie eines Photons der Hawkingstrahlung sein.
Ein virtuelles Photonenpaar kriegt von einem kleinen Schwarzen Loch mehr Energie als von einem großen! Überraschend, oder? Aber dieses erklährt, warum noch niemand ein leuchtendes Schwarzes Loch gesehen hat.
Wir kennen die Energie eines Photons dieser Strahlung:
Das ist nicht sehr aussagekräftig, oder? Die Frequenz wäre interessanter. Kein Problem:
Noch kurz die Energie einsetzen:
Die Frequenz der Hawkinstrahlung eines Schwarzen Lochs der Erdmasse ist:
So ein Schwarzes Loch würde also Mikrowellen, wie sie für Radar benutzt werden, aussenden!
Dieses Schwarze Loch wiegt .
Hilfe! Das ist harte Gammastrahlung! Wir sollte später überprüfen, ob es eine tödliche Dosis ist.
Die Frequenz von sichtbarem Licht liegt zwischen 
und 
.
Ein Schwarzes Loch von 
sendet dunkelrotes und ein Schwarzes Loch von 
sendet tiefviolettes Licht aus.
Wie schon gesagt hat die Hawkingstrahlung dieselbe Verteilung wie Hohlraumstrahlung (Siehe "Hintergrund" Kapitel, Hohlraumstrahlung). Die durchschnittliche Energie eines Photons dieser Strahlung wird durch folgene Formel gegeben:
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k: Boltzmann-Konstante;  |
| T: Temperatur des schwarzen Körpers. |
Diese Energie sollte gleich der Energie sein, die ein Schwarzes Loch an ein Paar virtueller Photonen abgibt. Also lass uns die Formeln gleichsetzen:
Jetzt können wir noch alle Konstanten, die wir haben einsetzen:
Sieht gut aus! Wenn wir eine Masse in Kilogramm einsetzen, bekommen wir eine Temperatur in Kelvin heraus. Unsere Gleichung sieht vielversprechend aus, Obwohl wir meist klassische Physik benutzten.
Nun gut, sie ist sehr dicht dran. In der echten Formel ist der Divisor 2.821 durch ein Pi ersetzt:
Wir haben nur die Energie für virtuelle Photonen, die radial zum Schwarzen Loch fliegen und die am Schwarzschildradius entstehen, ausgerechnet. Aber in Wirklichkeit müssen natürlich alle virtuellen Photonenpaare, bei denen eines den Schwarzschildradius in seiner Lebenszeit erreicht, berücksichtigt werden.
Dieses Schwarze Loch wäre kälter als die kosmische Hintergrundstrahlung!
Ich kenne nichts, womit ich eine so hohe Temperatur vergleichen könnte!
Die Leuchtkraft eines schwarzen Körpers wird durch die Stefen-Boltzmann-Formel gegeben:
 : Stefan-Boltzmann-Konstante; |
 |
1st: Die relevante Oberfläche für die Hawkingstrahlung ist die einer Kugel mit dem Radius des Schwarzschildradius', weil die Strahlung dort entsteht:
Wir können dies in die Formel für die Leuchtkraft einsetzen:
2nd: Wir haben schon die Temperatur eines Schwarzen Lochs ausgerechnet:
Wir setzen dieses in die Formel für die Leuchtkraft ein:
die Leuchtkraft eines Schwarzen Lochs der Erdmasse ist:
Die Leuchtkraft des Schwarzen Lochs in "The Hole Man":
35.7 Gigawatt harte Gammastrahlung wären absolut tödlich!
Wie schwer wäre ein Schwarzes Loch mit der Leuchtkraft der Sonne?
Ein Schwarzes Loch von nur 961kg Masse würde genauso hell leuchten, wie die Sonne; und es wäre nur 
groß! (Durchmesser des Schwarzschildradius'). Dieses Schwarze Loch wäre dennoch nicht sichtbar, weil es tödliche Gammastrahlung aussenden würde.
Jetzt haben wir errechnet, dass ein Schwarzes Loch durch die Hawkingstrahlung strahlt. Das Entkommende Teilchen eines virtuellen Teilchenpaares trägt Energie aus dem Schwarzen Loch davon und das Schwarze Loch verliert deswegen Masse. Letztendlich verliert das Schwarze Loch sämptliche Energie, beziehungsweise Masse, und zerstrahlt. Lass uns eine Formel für die Lebensdauer eines Schwarzen Lochs herleiten.
Die Leistung der Hawkingstrahlung ist genau die gleiche wie seine Leuchtkraft:
Auf der anderen Seite ist die abgestrahlte Energie genauso groß wie die Energie, die das Schwarze Loch verliert. Deswegen ist die Leistung P der Hawkingstrahlung gleich der Abnahme der Energie des Schwarzen Lochs, also:
P = -dE/dt
Von Einsteins Energie-Masse-Gleichheitssatz,
(Lichtgeschwindigkeit ist konstant!)
Wenn wir P in der Gleichung (1) und (2) gleichsetzen, erhalten wir:
Em... Die linke Seite der Gleichung sieht irgentwie schwerfällig aus, ne? Wir können die ganzen Konsonanten loswerden, indem wir eine Große Konstante einführen. Nehmen wir K:
Wir haben jetzt eine schöne, einfache Gleichung:
Nun wollen wir mal die mächstigste Waffe der Mathematik verwenden... Ja, die Integration! Während das Schwarze Loch langsam zerstrahlt, sinkt seine Masse von 
(die Anfangsmasse) auf null. Die bis zur vollständigen Zerstrahlung benötigte Zeit reicht von null bis 
(Dauer bis zur folständigen Zerstrahlung). Wir integrieren beide Seiten der Gleichung (3),
Die Lebenszeit eines Schwarzen Lochs ist:
Glückwunsch! Wir haben die Funktion für die Lebenszeit eines Schwarzen Lochs hergeleitet! Die Formel zeigt uns, dass die Lebenszeit eines Schwarzen Lochs proportional zur dritten Potenz der Masse ist. Das heißt, dass ein massereiches Schwarzes Loch proportional länger braucht, um zu zerstrahlen, und der zerstrahlungsprozess wird beschleunigt während das Schwarze Loch langsam seine Masse verliert. Lass uns noch etwas rechnen.
Wooou! Ein solches Schwarzes Loch lebt länger als unser Universum alt ist!
Gut... die Lebenszeit dieses Schwarzen Lochs ist verhältnismäßig "kürzer". Wenn dieses Schwarze Loch kurz nach dem Urknall entstanden wäre, könnten wir eventuell seine Zerstrahlung beobachten.
Quelle: "Black holes aren't black - After Hawking they shine!"
"Schwarze Löcher sind nicht schwarz - Nach Hawking strahlen sie!"
/C007571
Presentiert von Angie, Matthias and Thorsten
Team C007571, ThinkQuest Internet Challenge 2000 (http://www.thinkquest.org).
Zuletzt geändert: 2000-08-10.