牛 頓 重 力 定 律

蘋 果 對 重 力 (gravitation) 的 發 現 有 重 大 貢 獻 。 英 國 的 物 理 學 家 牛 頓 [Isaac Newton] (1642-1727) 在 他 的 花 園 中 見 到 一 個 蘋 果 跌 落 地 上 ， 從 而 發 現 地 心 吸 力 。 "地 心 吸 力 " (gravity) 就 是 地 球 中 心 對 一 件 物 件 施 加 的 吸 引 力 。 月 球 環 繞 地 球 也 是 因 為 地 心 吸 力 的 存 在 。 牛 頓 後 來 提 出 地 心 吸 力 只 是 重 力 的 一 種 ， 宇 宙 中 的 所 有 質 量 都 會 互 相 吸 引 ， 這 便 是 牛 頓 重 力 定 律 的 重 點 。 牛 頓 重 力 定 律 是 於 1687 年 發 表 於 他 的 著 名 著 作 (The principia) 內 。 這 條 定 律 說 明 在 宇 宙 中 的 所 有 質 量 均 會 相 互 施 加 吸 引 力 ， 這 個 力 會 沿 著 連 繫 兩 個 質 量 重 心 的 線 上 ， 其 量 度 (magnitude) 是 與 兩 質 量 的 積 成 正 比 ， 及 與 兩 質 量 的 距 離 的 平 方 成 反 比 。

以 數 學 形 式 來 表 達 ：
和 分 別 是 兩 個 質 量 ；
r 是 兩 個 質 量 的 距 離 ；
F 是 兩 個 質 量 間 的 重 力 ；
G 是 重 力 常 數 ， 其 數 值 如 下 ：	.

以 上 的 公 式 只 能 計 算 出 兩 個 質 量 間 的 重 力 。 若 質 量 的 數 目 多 於 二 的 時 侯 則 如 何 呢 ？ 這 時 ， 我 們 便 要 算 出 施 加 於 一 個 質 量 的 淨 重 力 (resultant gravitational force)， 即 所 有 施 加 於 這 個 質 量 的 重 力 的 向 量 總 和 (vector sum)。

看 ﹗ 在 公 式 上 加 上 了 單 位 向 量 (unit vector) 後 ， 重 力 F便 有 方 向 了 。

牛 頓 推 算 出 F 是 與 m 成 正 比 ， 那 是 因 為 跟 據 牛 頓 第 二 定 律 (Newton's Second Law of Motion)， 施 加 在 一 件 下 墜 中 的 物 體 的 力 (還 記 得 那 個 蘋 果 嗎 ？ ) ， 是 與 該 物 件 的 質 量 成 正 比 (F = ma = mg， 所 以 F 是 與 m 成 正 比 )。 當 地 球 向 一 件 下 墜 物 施 加 吸 引 力 的 同 時 ， 跟 據 牛 頓 第 三 定 律 (Newton's Third Law of Motion)， 該 下 墜 物 會 向 地 球 反 施 一 個 量 度 相 同 ， 但 方 向 相 反 的 力 。 因 此 ， 重 力 F 是 跟 下 墜 物 和 地 球 的 質 量 成 正 比 ， 即 和 。 與 r 平 方 成 反 比 的 關 係 ， 即 是 可 從 觀 察 月 球 的 運 行 而 推 算 出 來 。

牛 頓 重 力 定 律 已 成 功 地 解 釋 了 德 國 天 文 學 家 開 普 勒 (Johannes Kepler) 憑 觀 察 而 得 出 的 天 體 運 行 定 律 ， 在 一 般 環 境 下 牛 頓 重 力 定 律 能 完 美 地 運 作 ， 並 主 導 了 近 250 年 。 可 是 這 定 律 未 能 完 全 解 釋 水 星 環 繞 地 球 的 不 尋 常 軌 跡 。 並 且 當 被 應 用 於 涉 及 非 常 強 大 的 重 力 ， 或 以 接 近 光 速 移 動 的 物 體 的 時 侯 ， 它 便 完 全 瓦 解 。 愛 因 斯 坦 於 1915 年 發 表 的 相 對 論 ， 則 能 打 破 牛 頓 重 力 定 律 的 局 限 性 ， 成 為 了 一 條 更 完 整 的 解 釋 重 力 的 科 學 定 律 。

重 力 位 能 (Gravitational Potential Energy)

讓 我 們 用 蘋 果 來 做 個 例 子 看 看 什 麼 是 重 力 位 能 。 當 蘋 果 從 樹 上 掉 下 來 時 ， 它 向 著 地 面 加 速 。 換 句 話 說 它 的 動 能 在 不 斷 地 增 加 。 跟 據 能 量 守 恆 定 律 ， 一 種 能 量 增 加 的 同 時 ， 另 一 種 能 量 就 必 會 減 少 ； 所 以 我 們 可 以 說 ， 當 那 蘋 果 從 樹 上 掉 下 來 時 ， 它 的 位 能 便 會 轉 變 為 動 能 。

一 個 質 量 m 和 另 一 質 量 M 的 距 離 為 r ， 我 們 把 m的 重 力 位 能 定 義 為 一 外 力 (external force) 把 m 從 r 移 到 無 限 遠 (infinity) 所 作 的 功 (work done)。 (我 相 信 下 圖 可 助 你 了 解 我 所 說 的 話 。 )

在 上 圖 ， 重 力 和 外 力 的 量 度 是 相 等 的 ， 而 它 們 的 方 向 則 是 相 反 。 把 地 面 (ground level) 的 力 位 能 定 義 為 零 ， 我 們 可 用 以 下 的 方 法 計 算 一 個 物 件 的 位 能 ：

重 力

[負 號 代 表 重 力 是 永 遠 是 個 吸 引 力 (attractive force)]

外 力 把 質 量 m 從 r 移 到 無 限 所 作 的 功 為 用 以 下 等 式 計 算 ：

因 此 ， 跟 據 重 力 位 能 的 定 義 ：

普 朗 克 量 子 原 理 (Planck's Equation)

科 學 因 革 命 而 前 進 ， 但 人 們 於 初 時 都 常 常 抗 拒 革 命 性 的 概 念 ， 普 朗 克 量 子 原 理 出 現 時 也 遇 到 相 同 的 情 況 。 在 傳 統 物 理 學 上 ， 科 學 家 們 都 認 為 電 磁 幅 射 (electromagnetic radiation) 的 能 量 是 被 不 停 地 吸 收 或 放 射 。 直 至 19世 紀 末 期 ， 德 國 科 學 家 普 朗 克 [Max Planck] (1858-1947) 提 出 了 一 個 全 新 的 假 設 來 解 釋 黑 體 幅 射 譜 (black body radiation spectrum)， 這 時 能 量 量 化 (discrete energy) 的 概 念 才 開 始 冒 出 。

在 普 朗 克 的 假 設 裡 ， 幅 射 能 量 (radiant energy)是 以 少 量 地 不 停 放 出 ， 稱 為 量 子 (quantum)。 每 一 量 子 皆 有 能 量 E， 而 能 量 E的 大 少 則 取 決 於 放 射 出 量 子 的 振 蕩 器 (oscillator) 的 頻 率 (frequency)。 量 子 的 能 量 計 算 如 下 ：

,

是 一 個 自 然 的 基 本 常 數 (fundamental constant of nature)， 這 就 是 普 朗 克 常 數 。 這 條 公 式 適 用 於 所 有 發 射 的 和 被 吸 收 的 幅 射 能 量 。

普 朗 克 量 子 原 理 說 出 一 道 幅 射 的 頻 律 愈 高 ， 其 擁 有 的 能 量 愈 大 。 例 如 這 解 釋 了 為 什 麼 可 見 光 (visible light) 不 能 把 你 的 皮 膚 曬 黑 ， 但 紫 外 光 (ultra violet light) 可 以 []， 因 為 可 見 光 中 量 子 的 能 量 不 足 夠 和 皮 膚 的 細 胞 產 生 化 學 作 用 。

普 朗 克 量 子 原 理 能 完 全 解 釋 黑 體 幅 射 譜 ， 即 在 任 何 的 波 長 (wavelength) 和 溫 度 下 都 正 確 。 當 時 很 多 其 他 的 科 家 都 無 法 以 傳 統 的 波 浪 學 說 (wave theory) 成 功 地 完 全 解 釋 黑 體 幅 射 譜 。 可 是 量 子 化 能 量 (quantized energy) 的 概 念 對 當 時 大 部 分 的 科 學 家 是 太 革 命 性 了 (就 算 是 普 朗 克 對 自 己 的 結 論 也 有 懷 疑 )。 直 至 1905 年 ， 當 愛 因 斯 坦 採 用 普 朗 克 量 子 原 理 去 推 算 出 他 的 光 電 放 射 (photoelectric emission) 公 式 ， 普 朗 克 量 子 原 理 才 開 始 被 接 受 。 量 子 化 能 量 的 概 念 讓 愛 因 斯 坦 構 想 出 可 見 光 和 其 他 電 磁 波 的 粒/波 二 象 性 (particle-wave duality)， 可 見 普 朗 克 量 子 原 理 是 量 子 物 理 形 成 的 要 素 。

黑 體 幅 射 (Black Body Radiation)

黑 體 幅 射 在 我 們 討 論 "黑 體 幅 射 " (black body radiation) 這 個 名 詞 之 前 ， 首 先 讓 我 們 介 定 何 為 "黑 體 "。 "黑 體 " 是 一 個 理 論 性 的 完 美 吸 收 者 (perfect absorber)， 它 能 吸 收 有 波 長 的 幅 射 。 在 正 常 的 溫 度 下 ， 它 不 會 反 射 任 何 光 線 ， 因 而 呈 現 黑 色 ， 所 以 稱 為 "黑 體 " 。 但 是 像 分 子 運 動 論 (kinetic theory) 中 的 理 想 氣 體 (ideal gas)一 般 ， 它 只 是 一 個 理 論 上 的 模 型 ； 在 現 實 裡 ， 我 們 只 可 以 找 到 近 似 完 美 的 黑 體 。

跟 據 Prevost 在 1972 年 的 (Theory of Exchanges)， 最 佳 的 幅 射 吸 收 者 - 即 黑 體 ， 亦 是 最 佳 的 幅 射 放 射 者 。 那 麼 一 個 黑 體 放 射 出 來 的 幅 射 叫 什 麼 呢 ？ 試 猜 猜 … … 它 就 是 叫 個 黑 體 幅 射 (是 不 是 很 直 接 呢 ？ )。 它 亦 被 稱 為 "全 幅 射 " (full radiation) 或 是 "溫 度 幅 射 " (temperature radiation)。

一 個 黑 體 所 放 射 出 來 的 不 同 波 長 (wavelength) 的 幅 射 ， 其 強 度 (intensity) 只 繫 於 其 溫 度 。 我 們 可 以 用 一 個 適 當 的 譜 儀 (spectrometer) 來 研 究 黑 體 幅 射 譜 ， 例 如 一 個 thermopile 或 bolometer ， 因 為 黑 體 放 射 出 來 的 幅 射 一 般 含 有 紅 外 線 (infra-red light)、 可 見 光 (visible light) 和 紫 外 光 (ultra-violet light)， 它 們 都 有 發 熱 效 應 (heating effect)。

下 面 是 一 個 黑 體 幅 射 譜 ：

我 們 可 以 從 幅 射 譜 中 觀 察 到 黑 體 的 溫 度 愈 高 ， 幅 射 的 能 量 則 愈 多 ， 而 黑 體 會 變 得 愈 光 。 再 者 ， 放 射 出 來 最 高 強 度 的 幅 射 ， 以 幅 射 譜 的 頂 點 (peak) 代 表 ， 其 波 長 不 會 落 在 可 見 光 的 範 圍 ， 除 非 黑 體 的 溫 度 高 於 開 氏 (Kelvin) 3700 度 。

是 幅 射 能 量 最 高 的 波 長 ， 而 T 是 開 氏 溫 度 。 這 點 已 在 韋 氏 位 移 定 律 (Wien's Displacement Law) 中 詳 述 。 因 此 ， 我 們 可 以 從 這 公 式 中 看 到 一 個 較 熱 的 黑 體 主 要 放 射 出 波 長 較 短 的 幅 射 。 這 解 釋 了 為 什 麼 較 高 溫 度 的 黑 體 是 藍 色 ， 較 低 溫 度 的 則 是 紅 色 。

愛 因 斯 坦 的 公 式

質 量 即 是 能 量 嗎 ？ 於 1905 年 ， 愛 因 斯 坦 [Albert Einstein] (1873-1955) 在 研 究 他 的 狹 義 相 對 論 (Special Theory of Relativity) 時 提 出 質 量 即 等 於 能 量 。 這 著 名 的 質 量 -能 量 相 等 關 係 (Mass-Energy Equivalence Relation)　 指 出 ：

E 是 對 等 能 量 (energy equivalent) 又 或 是 質 量 能 量 (mass energy)
m 是 一 件 物 體 的 質 量
而 是 光 速

我 們 難 以 用 一 個 簡 單 的 邏 輯 推 理 愛 因 斯 坦 如 何 得 出 他 的 公 式 。 這 純 粹 是 一 個 跟 據 他 的 狹 義 相 對 論 和 麥 克 斯 韋 方 程 式 (Maxwell's Equation) 作 出 的 假 設 。

我 們 很 難 在 日 常 生 活 的 例 子 中 ， 看 到 一 件 物 件 因 能 量 的 得 失 而 產 生 明 顯 的 質 量 改 變 ， 這 是 因 為 一 件 物 件 的 總 質 量 只 會 作 很 微 少 的 改 變 。 要 檢 查 愛 因 斯 坦 的 公 式 ， 我 們 需 要 一 些 質 量 微 小 的 物 體 ， 才 可 以 量 度 到 在 總 質 量 上 的 明 顯 改 變 ， 核 反 應 (nuclear reaction) 中 的 放 射 性 衰 變 (radioactive decay) 可 作 一 個 選 擇 。 事 實 上 ， 愛 因 斯 坦 曾 以 一 小 堆 粉 末 狀 的 鐳 (radium salt) 來 作 實 驗 ， 看 看 鈾 在 放 射 幅 射 時 的 重 量 會 否 下 降 。

現 今 ， 質 量 - 能 量 相 等 關 係 對 核 子 工 業 有 著 重 大 的 作 用 。

Source:"Black holes aren't black - After Hawking they shine!" 
Presented by Angie, Matthias and Thorsten Team C007571,ThinkQuest Internet Challenge 2000. 
Last modified: 2000-08-03.