3. Herleitung des Schwarzschild-Radius beim Schwarzen Loch mit der Newtonschen Theorie

Ansatz: Für Körper, die vom Schwarzen Loch den Abstand Schwarzschild-Radius haben, ist die Fluchtgeschwindigkeit größer als Lichtgeschwindigkeit. Selbst Licht, das sich dem Schwarzen Loch bis auf den Schwarzschild-Radius nähert, kann dem Schwarzen Loch nicht mehr entkommen. Zuerst wollen wir jetzt die Fluchtgeschwindigkeit eines Körpers hergeleiteten.

3.1. Herleitung der Fluchtgeschwindigkeit

Aus den folgenden Voraussetzungen wollen wir die Fluchtgeschwindigkeit hergeleiteten:

Die potentielle Energie E_pot eines Körpers in der Entfernung r von einem sich ebenfalls als Massepunkt gedachten anderen Himmelkörper ist:

E_pot = - GM_QM_P. (3.1)

Dabei ist G die Gravitationskonstante, M_Q die Masse des Himmelskörpers, M_P die Masse eines Probekörpers.

Außerdem gilt für die kinetische Energie des Körpers, wenn v die Geschwindigkeit des Körpers ist:

E_kin = M_Pv². (3.2)

Schließlich gilt der Satz von der Erhaltung der Energie:

E_pot + E_kin = E_ges = konstant. (3.3)

Wir setzen nun in die Gleichung (3.3) für E_pot den rechten Term der Gleichung (3.1) ein und für E_kin den rechten Term von Gleichung (3.2). Nun erhalten wir:

- G • M_Q • M_P • + • M_P • v² = E_ges = konstant. (3.4)

Die Fluchtgeschwindigkeit v_Fl eines Körpers ist die Geschwindigkeit, bei der ein Körper mit der Geschwindigkeit v_Fl von einem Himmelskörper abgeschossen ins Unendliche strebt.

Die Geschwindigkeit v des Körpers, der mit Fluchtgeschwindigkeit abgeschossen wurde, muß also immer etwas größer sein als Null, denn sonst würde er irgendwann wieder auf den Himmelskörper zurückfallen. Die Geschwindigkeit nimmt mit der Zeit monoton ab, weil der Körper von dem Himmelskörper angezogen wird und er nur die Mindestgeschwindigkeit hat, die er braucht um in das Unendliche zu streben. Folglich strebt v für t gegen unendlich gegen Null und gegen Null, weil der Körper auf den Himmelskörper nicht zurückfällt. Somit ist E_ges = 0.

Wir ersetzen jetzt in Gleichung (3.4) E_ges durch 0 und v durch v_Fl.

Wir bekommen:

- G • M_Q • M_P • + • M_P • v_Fl² = 0, | • 2 : M_P

- 2 • G • M_Q • + v_Fl² = 0,

v_Fl² = 2 • G • M_Q • .

Wir berechnen schließlich die Fluchtgeschwindigkeit v_Fl eines Probekörpers, der von einem Himmelskörper abgeschossen wird. Der Radius des Himmelskörpers sei r:

v_Fl = .

3.2. Herleitung des Schwarzschild-Radius r beim Schwarzen Loch mit Hilfe der Fluchtgeschwindigkeit v_Fl

Wenn bei einem Himmelskörper die Fluchtgeschwindigkeit gleich der Lichtgeschwindigkeit ist kann kein materieller Körper diesen verlassen, weil kein materieller Körper jemals die Lichtgeschwindigkeit erreichen kann. Da kein materieller Körper ein Schwarzes Loch verlassen kann, folgern wir:

v_Fl = c. (3.5)

Im vorherigen Abschnitt haben wir die Fluchtgeschwindigkeit v_Fl berechnet:

v_Fl = . (3.6)

Dabei ist hier M die Masse des Schwarzen Loches, von der sich ein anderer Körper mit der Geschwindigkeit v_Fl entfernt. Wir setzen den rechten Term der Gleichung (3.6) für v_Fl in Gleichung (3.5) ein. Nun erhalten wir:

= c .

Diese Gleichung lösen wir jetzt nach der Größe r auf:

= c², |

= r.

Für den Schwarzschild-Radius r errechnen wir also:

r = .