Kapitel Eins
1.2. Mathematische Grundlagen : Eine Einführung in das Vektorprodukt
Wie ihr alle wisst, ist ein Vektor eine gerichtete Größe, z.B. Geschwindigkeit, Beschleunigung, Impuls oder Kraft. Im mathematischen Formalismus (in der Vektorrechnung), kann ein Vektor durch einen Buchstaben mit einem Pfeil darüber gekennzeichnet werden; wir benutzten Vektoren in der Gleichung für die Lorentz-Kraft, Sek.1.1 (Lorentz-Kraft). Wie Zahlen können zwei beliebige Vektoren addiert werden. Aber es gibt noch ein paar weitere Operationen, z.B. das Skalarprodukt oder das Vektorprodukt ... hier wollen wir das Vektorprodukt behandeln.
Die Lorentz-Kraft ist eines der einfachsten Beispiele für das Vektorprodukt in der Natur:
Das Vektorprodukt von zwei Vektoren 
, 
kann ausgedrückt werden
als: 
= 
,
wobei der Betrag von definiert ist als:
| | = |
| : = | | | |
. | sin(
(,)) | .
Der Vektor steht senkrecht auf
und . Des weiteren bilden die Vektoren
, und ein
Rechtssystem [Froehner (1998)]. Solch
ein System ist dem eines Kartesischen Systems ähnlich. Zum Beispiel ist das Vektorprodukt der Einheitsvektoren:
1 2
= 3 ; 3 1
= 2 ; 2 3
= 1 .
Nach Definition ist das Vektorprodukt antikommutativ:
=
- .
Versuche, die
folgenden Regeln selbst herauszufinden:
= 
; wenn 
, dann
= a b ;
(
)
= ( )
= ( ) ;
( )
(
) ;
(
+ ) =
+ .
Wie können wir das Vektorprodukt
zweier Vektoren berechnen, wenn diese als Linearkombination orthonormaler Vektoren dargestellt werden? (Ein System orthonormaler Vektoren ist eine Menge aufeinander senkrecht
stehender Vektoren 1 ,2 ,3 der
Länge eins)
Kurz: = a11 +
a22 + a33 ,
= b11 +
b22 + b33 .
Dann haben
wir: = (a11
+ a22 + a33)
(b11
+ b22 + b33)
=
a1b1(1 1) +
a1b2(1 2) +
a1b3(1 3)
+
a2b1(2 1) +
a2b2(2 2) +
a2b3(2 3)
+
a3b1(3 1) +
a3b2(3 2) +
a3b3(3 3)
=
a1b23 - a1b32 -
a2b13 + a2b31 +
a3b12 - a3b21 .
Und schließlich:
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