Refracción (Continuación)

La ley de refracción es n₁sinq₁= n₂sinq₂

Para probarlo, considerar la Fif 17 la que muestra dos puntos ficticios A y B en dos diferentes medios y un rayo refractante APB conectándolos. El tiempo t para que el rayo viaje desde A a B está dado por:

t=(L₁/ V₁)+(L₂/ V₂)

Usando la relación n=c/v podemos reformularlo así:

t=[(n₁L₁+ n₂L₂]/c=L/c

donde L es la longitud del camino óptico, definido por

L=n₁L₁+ n₂L₂

Para cualquier rayo de luz que viaja a través de medios sucesivos, la longitud del camino óptico es la suma de los productos de las longitudes de los caminos geométricos y el índice de refracción en ese medio. La ecuación l_n=l/n muestra que la longitud de onda es igual a la longitud que ese mismo número de ondas habrían si el medio fuera el vacío. No confundir la longitud de camino óptico con la longitud del camino geométrico el cual es L₁+ L₂ para el rayo de la Fig 17.

El principio de Fermat require que el tiempo t para que la luz viaje el camino APB debe ser mínimo (o máximo o debe mantenerse sin cambio) el cual requiere en cambio que x sea escogido para que dt/dx=0. La longitud del camino óptico en la fig 17 es

L=n₁L₁+ n₂L₂₌n₁(raíz cuadrada de a²+ x²)+n₂(raíz cuadrada de b²+(d-x)²)

Substituyendo este resultado en t=[(n₁L₁+ n₂L₂]/c=L/c y diferenciando, obtenemos:

Dt/dx=1/c(dL/dx)

=n₁/2c(a²+ x^2)-1/2(2x)+ n₂/2c[b²+ (d-x)²]^-1/2 (2)(d-x)(x-1)=0

Lo que puede ser escrito como

n₁ [x/( raíz cuadrada de a²+ x²)]=n₂  [(d-x)/ (raíz cuadrada de b²+(d-x)²)]

FIGURE 17 Credits

Comparando con la Fig 17 se ve que podemos escribirlo como n₁sinq₁= n₂sinq₂ la cual es la ley de refracción