Teil 3


A: Weiße Zwerge

 

Die häufigste Frage, die gestellt wird, wenn jemand den Begriff Weißer Zwerg zum ersten Mal hört, ist wohl:

"Was unterscheidet ihn von einem normalen Stern wie unserer Sonne?"

Die Antwort könnte lauten:

"In ihm ist die Masse einer Sonne auf das Volumen eines erdähnlichen Planeten zusammengepresst. Er hat seine Kernenergievorräte aufgebraucht, und dem Gravitationsdruck in seinem Zentrum hält nur noch das entartete Elektronengas stand."

Eine Antwort, mit der wir uns nicht zufrieden geben wollen; wir möchten genau wissen, wie sich Gravitation und Entartungsdruck die Waage halten. Und ganz unvorbereitet sind wir nicht: Im Vorangegangenen haben wir uns einigermaßen in die Physik entarteter Elektronengase eingearbeitet.

Im Folgenden, in Teil 3, wollen wir unser Verständnis entarteter Gase an zwei konkreten Weißen Zwergen testen, an 40 Eridani B und Sirius B. Dabei berechnen wir:

Doch zunächst die Fakten:

Dank HIPPARCOS (einem europäischen Astrometriesatelliten) kennen wir die Massen und Radien von 40 Eridani B und Sirius B mit bisher unerreichter Genauigkeit. Anhand der Daten, die von diesem Satelliten übermittelt wurden, berechneten Shipman et al. (1997) sowie Provencal et al. (1998) übereinstimmbar die Masse und den Radius des Weißen Zwergs 40 Eridani B:

M40 Eri B = (0,501 ± 0,011) · MSol ;

R40 Eri B = (0,0136 ± 0,00024) · RSol .

Die Masse und den Radius von Sirius B berechneten Provencal et al. (1998) und Holberg et al. (1998) aus den HIPPARCOS-Daten. Wir geben von ihren Ergebnissen die Mittelwerte an:

MSirius B = (1,017 ± 0,021) · MSol ;

RSirius B = (0,0084 ± 0,000225) · RSol .

Mit diesen Größen möchten wir im Folgenden rechnen.

Wie viele Elektronen hat ein Weißer Zwerg?

Wir wissen, Weiße Zwerge haben sehr hohe Dichten. Die Materie nicht allzu schwerer Wei&szuml;er Zwerge ist vollständig ionisiert; Atomkerne und Elektronen schwirren wild durcheinander. Die Atomkerne machen dabei den größten Teil der Masse eines Weißen Zwergs aus, sein Volumen wird größtenteils durch die Elektronen bestimmt.

An dieser Stelle möchten wir den Begriff relative Atommasse µe eines Sterns einführen:

Unter der relativen Atommasse µe eines Sterns pro Elektron verstehen wir: das Verhältnis der Masse des Sterns in atomaren Masseneinheiten zur Zahl seiner Elektronen. Die Definitionsgleichung lautet:

(3.1)

Dazu zwei Beispiele:

Erstens Beispiel: Ein Weißer Zwerg, der nur aus dem Helium-Isotop 4He besteht, ist vollständig ionisiert. In ihm befinden sich genau halb so viele Alpha-Teilchen (4He-Kerne) wie Elektronen. Da die Alpha-Teilchen den Großteil der Sternmasse ausmachen, gilt:

( 1 / 2 ) N · MHe 4 = MStern ;

( 1 / 2 ) N · AHe 4 · u = MStern .

AHe 4 ist die relative Atommasse eines 4He-Isotops (die Atommasse bezogen auf die atomare Masseneinheit u). Für die relative Atommasse µe dieses Sterns pro Elektron erhalten wir nach Gleichung (3.1) und der letzen Gleichung:

µe = ( 1 / 2 ) · AHe4 = 2,001 301 62 ± 0,000 000 25 .

Zweites Beispiel: Ein reiner, vollständig ionisierter Kohlenstoffstern aus dem Isotop 12C. Genau sechsmal so viele Elektronen wie Kohlenstoff-Atomkerne fliegen durch den Weißen Zwerg:

( 1 / 6 ) N · AC 12 · u = MStern

und damit:

µe = ( 1 / 6 ) · AC 12 = 2 .

(Das Ergebnis gilt exakt: nach Definition der atommaren Masseneinheit AC 12 := 12.)

Mit diesen Ergebnissen sind wir in der Lage die Elektronenzahl N eines Weißen Zwergs auszurechnen. Nach Gleichung (3.1) ergibt sich:

Egal, ob wir mit µe = 2 für einen reinen 12C-Stern oder mit µe = 2,001 301 62 ± 2,5 ·10-7 für einen 4He-Stern rechnen, es wird sich herausstellen, dass beide Ergebnisse in den ersten drei Dezimalstellen übereinstimmen. So nehmen wir an, beide Sterne bestehen aus einem Mantel des 4He-Isotops und einem Kern des 12C-Isotops (der Wert für µe liegt bei beiden Sternen irgendwo zwischen den beiden berechneten Werten).

Für 40 Eridani B erhalten wir nach Einsetzen in die obige Formel:

N40 Eri B = 3,00 ·1056 ;

für Sirius B ist die Zahl der Elektronen noch größer:

NSirius B = 6,09 ·1056 .

Diese Ergebnisse können wir für die weiteren Rechnungen gut gebrauchen.

Die Fermi-Geschwindigkeit

Unser Ziel ist es in diesem Abschnitt, für die Elektronengase der beiden am genauesten ausgemessenen Weißen Zwerge, 40 Eridani B und Sirius B, den Fermi-Impuls pF auszurechnen. Haben wir das einmal geschafft, nehmen wir Einsteins spezielle Relativitätstheorie zur Hilfe, um mit ihr aus dem Fermi-Impuls die Fermi-Geschwindigkeit zu bestimmen.

Wir vernachlässigen die Temperatur des Sterns: Ihre Berücksichtigung würde an unseren Ergebnissen nur geringe Korrekturen nötig machen.

Beginnen wir unsere Überlegungen mit einer Verschärfung des Heisenbergschen Unbestimmtheits-Prinzips.

In den vorangegangenen Abschnitten machten wir oft von dem Geschwindigkeitsraum (in der halbklassischen Theorie) oder von dem Zustandsraum (in der Quantenmechanik) Gebrauch. Hier beschäftigen wir uns mit dem sog. Phasenraum. Der Phasenraum ist nach der klassischen Physik ein Raum mit sechs Dimensionen: Drei Dimensionen stellen die Dimensionen des Ortsraumes dar, die anderen drei die Dimensionen des Impulsraumes (es gibt drei Impulsrichtungen).

Ist ein Teilchen auf ein Volumen VOrt im Ortsraum und ein Volumen VImp im Impulsraum beschränkt, so ist es auf das zugehörige Volumen VPha im Phasenraum beschränkt. Dieses Volumen ergibt sich aus der einfachen Gleichung:

VPha = VOrt · VImp .

Die Quantenmechanik besagt, dass kein Teilchen auf ein kleineres Volumen beschränkt werden kann als das Volumen h3; zu jedem Phasenvolumen der Größe h3 gehört genau ein Quantenzustand (abgesehen vom Spin):

VOrt · VImp h3 .

Das Heisenberg-Prinzip ist also auf Volumina im Phasenraum angewandt worden.

Für die nächsten Schritte stellen wir uns vor, wir könnten immer die ideale Messungen durchführen. Dann entstände aus der obigen Formel eine Gleichung.

Ein Elektron in dem Inneren eines Weißen Zwergs mit dem Radius RWZ würde also folgendes Volumen im Impulsraum einnehmen:

(3.2)

Gleichung (3.2) ist die Grundformel, mit der wir weiterarbeiten werden.

Die Elektronen sind auf das Innere des Weißen Zwergs beschränkt, daraus ergibt sich, dass jedes Elektron im Impulsraum über das Volumen VImp verschmiert ist. Also können sich wegen des Pauli-Verbots nur zwei Elektronen in derselben Impulsraumzelle mit dem Volumen VImp der Gleichung (3.2) aufhalten. Insgesamt füllen bei T = 0 alle N Elektronen N / 2 dieser Zellen aus.

Auch hier besetzen alle N Elektronen kugelförmig alle N / 2 Zellen um den Koordinatenursprung (den Null-Impuls) des Impulsraumes so, dass ihnen keine Energie mehr entzogen werden kann. Diese Kugel -- du hast sicherlich nichts anderes erwartet -- ist unsere Fermi-Kugel; Sie hat das Volumen (N / 2) · VImp . Ihr Radius ist der größte Impulsbetrag, den ein Elektron des Gases bei T = 0 haben kann. Dieser Radius ist der anfangs erwähnte Fermi-Impuls pF :

Gleichung (3.2) gibt uns das Impuls-Volumen VImp eines Elektrons, also:

<=>

(3.3)

Damit haben wir eine Formel für den Fermi-Impuls des Elektronengases in einem Weißen Zwerg gefunden!

Die konkreten Fermi-Impulse für 40 Eridani B und Sirius B:

pF [40 Eri B] = ( 9 / 32 p2 )1/3 · 6,626 ·10-34 kg m2 s-1 · ( 3,00 ·1056 )1/3 · ( 0,0136 · 6,96 ·108 m )-1

= 1,43 ·10-22 kg m s-1 .

pF [Sirius B] = ( 9 / 32 p2 )1/3 · 6,626 ·10-34 kg m2 s-1 · ( 6,09 ·1056 )1/3 · ( 0,0084 · 6,96 ·108 m )-1

= 2,93 ·10-22 kg m s-1 .

Um auch eine Formel für die Fermi-Geschwindigkeit zu erhalten, benötigen wir aus der speziellen Relativitätstheorie die Beziehung zwischen Masse und Geschwindigkeit:

mit den Abkürzungen:

Aus dieser Beziehung folgt:

Diese Formel müssen wir nach der Geschwindigkeit v auflösen:

Hier kürzen wir ab:

Also:

Endlich, endlich erhalten wir über a die ersehnte Formel der Fermi-Geschwindigkeit:

(3.4)

So können wir erfahren, wie nahe die Elektronen im Weißen Zwerg an der Lichtgeschwindigkeit sind, während sie umhersausen. Für das Elektronengas von 40 Eridani B gilt:

vF [40 Eri B] = [0,274 683 0 / (1 + 0,274 683 0 ]1/2 · c = 1,39 ·108 m s-1 .

Die Fermi-Geschwindigkeit der Elektronen in Sirius B muss noch größer sein:

vF [Sirius B] = [1,154 487 0 / (1 + 1,154 487 0 ]1/2 · c = 2,19 ·108 m s-1 .

Die Fermi-Geschwindigkeiten betragen bei 40 Eriandi B etwa 46% und bei Sirius B etwa 73% der Lichtgeschwindigkeit. Ein beträchtlicher Anteil der Gaselektronen in diesen Weißen Zwergen ist also relativistisch entartet.

Die Nullpunktsenergie der Elektronen gegen die Gravitation der Atomkerne

Im dritten und letzten Abschnitt von Teil 3 berücksichtigen wir endlich auch die Gravitation. Dazu müssen wir aber einige Modellannahmen machen:

Erstens: Wir tun so, als wäre die Konzentration der Elektronen und Atomkerne in unseren Weißen Zwergen überall gleich groß (in Wirklichkeit nimmt sie von außen nach innen zu).

Zweitens: Wir vernachlässigen wiederum die Temperatur des Weißen Zwergs und rechnen so, als ob er auf die absolute Temperatur T = 0 abgekühlt wurde.

Drittens: Wir nehmen an, die Elektronen in unserem Weißen Zwerg währen alle nichtrelativistisch entartet.

Unser Ziel ist es, bei gegebener Masse eine Formel für den Radius eines Weißen Zwergs zu erhalten.

Die Grundformel unserer Überlegungen ist die Gravitationsenergie (die Feldenergie) einer homogen mit Masse erfüllten Kugel mit der Masse M und dem Radius R (vielleicht werden wir dir diese Formel irgendwann einmal herleiten):

(3.5)

(Hierin bedeutet G die Newtonsche Gravitationskonstante beduetet.)

Formel (2.31), die Nullpunktsenergie eines entarteten Elektronengases, ist dir inzwischen gut bekannt:

Dabei stellt a3 das Volumen eines Würfels dar, in dem das Elektronengas eingeschlossen ist. Setzen wir statt dieses Volumens das Volumen des Sterns ein, so bekommen wir die Energie des Elektronengases als Funktion des Sternradius:

also:

EGas = A · R-2 ,

mit der Abkürzung:

Auch wollen wir die Feldenergie (3.5) abkürzen:

EFeld = - B · R-1 ,

mit der Abkürzung:

B : = ( 3 / 5 ) G M2 .

Die Gesamtenergie EStern des Sterns ist also die Differenz zweier Terme:

EStern = A · R-2 - B · R-1 ,

dabei gibt der erste Term den Betrag der Elektronen der zweite -- vor allem -- den Betrag der Atomkerne. Wir suchen einen Radius R, für den die Gesamtenergie EStern minimal ist. Die dafür notwendige Bedingung lautet:

dEStern / dR = 0 ,

konkret:

- 2 A · R-3 + B · R-2 = 0

<=>

R = 2 ( A / B )

Also:

(3.6)

Damit haben wir unsere Formel! Mit ihr können wir die Radien unserer Weißen Zwerge näherungsweise berechnen; das lassen wir uns nicht nehmen.

Für den Radius von 40 Eridani B erhalten wir:

R40 Eri B = ( 7,07 )2/3 · ( 1,05 ·10-34 kg m2 s-1 )2 · ( 3,00 ·1056 )5/3 · ( 6,67 ·10-11 kg-1 m3 s-2 · 9,11 ·10-31 kg )-1 · ( 9,965 ·1029 kg )-2 = 9,12 ·106 m .

Der Radius von Sirius B beträgt nach (3.6):

RSirius B = ( 7,07 )2/3 · ( 1,05 ·10-34 kg m2 s-1 )2 · ( 6,09 ·1056 )5/3 · ( 6,67 ·10-11 kg-1 m3 s-2 · 9,11 ·10-31 kg )-1 · ( 2,023 ·1030 kg )-2 = 7,21 ·106 m .

Wie genau liegen unsere Ergebnisse an den Werten der gemessenen Radien (Rgem.)? Eine einfache Rechnung für 40 Eridani B und Sirius B zeigt uns Folgendes:

Für 40 Eridani B wurde ein Radius gemessen von (siehe oben):

Rgem. = 9,47 ·106 m .

Daraus ergibt sich eine Abweichung von:

( R / Rgem. ) 3,7 % .

Für Sirius B wurde ein Radius gemessen von (siehe oben):

Rgem. = 5,85 ·106 m .

Wir erhalten eine Abweichung von:

( R / Rgem. ) 23,2 % .

Aus diesen -- doch recht groben -- Abweichungen schließen wir, dass unsere Rechnung noch verfeinert werden muss (vielleicht in einem späteren Update??). Wir sind uns im klaren, dass sich die Fehler unserer Vereinfachungen zum Teil gegenseitig aufgehoben haben; insbesondere bei Sirius B strapaziert die große Anzahl an Elektronen unsere Formel.

Jedenfalls sind wir froh, die Größenordnung der Radien richtig getroffen zu haben!

Hiermit endet unsere Problembetrachtung von Weißen Zwergen. Wir hoffen, dass wir unsere Ziel erreicht haben: dass wir dir einen Einblick in die Welt der Quanten geben konnten, indem wir dir abwechselnd theoretische und praktische Beispiele vorrechneten.