Teil 2

A: Grundlagen -- Einstieg in die Quantenmechanik

Willkommen in der Quantenmechanik!

Hier möchten wir dich mit den Grundlagen der Quantenmechanik vertraut machen. Zunächst ein kurzer Überblick:

Am Anfang des Jahrhunderts gab es in der Physik -- wie auch anderswo -- eine Menge Rätsel. Eines dieser Rätsel war damals die spezifische Wärmekapazität der Metalle. Die Wissenschaftler konnten sich nicht erklären, warum sie so unerwartet klein war; dazu hatten sie kein widerspruchsfreies Modell. Im Rahmen der klassischen Physik konnte das Rätsel nicht gelöst werden. Doch mit Hilfe der Quantenmechanik gelang es Enrico Fermi im Jahre 1926, das Rätsel endlich zu lösen.

Doch bevor wir zeigen können, worin Fermis Beitrag bestand, müssen wir den Stand der Quantenmechanik von 1926 skizzieren. Dazu werfen wir dich ins kalte Wasser:

Die Quantenmechanik unterscheidet zwischen künstlich hervorgerufenen Zustandsänderungen, beispielsweise durch eine Messung, und Zustandsänderungen infolge der Dynamik des Systems. In diesem Abschnitt betrachten wir nur die möglichen Zustandsänderungen, die durch die Dynamik des Systems hervorgerufen werden. Dabei gelangen wir zu zwei Formeln, die die möglichen Eigenzustände der Energie eines Teilchens beschreiben. Diese beiden Formeln, (2.12) und (2.24), sind die Ausgangspunkte der ein- und dreidimensionalen quantenmechanischen Rechnungen.

Wir beginnen mit einem mathematischen Formalismus, der den natürlichen zeitlichen Verlauf des Zustandes eines Teilchens in der Ortsdarstellung beschreibt. Der Zustand wird in der Ortsdarstellung als Lösung einer partiellen linearen Differentialgleichung (Dgl.) zweiter Ordnung, der (zeitabhängigen) Schrödinger-Gleichung, gewonnen. Sie lautet:

(2.1)

(sprich: h-quer) ist eine Abkürzung für das Plancksche Wirkungsquantum h, geteilt durch 2 p ; i ist die imaginäre Einheit, die Quadratwurzel aus -1.

Diese Gleichung stellt unsere Ausgangsposition dar, auf ihr basieren unsere Überlegungen.

In der obigen Formel sehen wir einen Operator, den Hamilton-Operator H. Dieser Operator definiert die Gesamtenergie eines quantenmechanischen Systems von Teilchen und äußeren Kräften. Die Gesamtenergie der Teilchen ist die Summe aus deren potentiellen und kinetischen Energien. Der Hamilton-Operator setzt sich entsprechend aus einem Operator für die potentielle Energie und einem Operator für die kinetische Energie zusammen. Für beide ergibt sich nach der Quantenmechanik:

Der Operator der potentiellen Energie V ist ein Funktionsterm, der mit der PSI-Funktion multipliziert wird. Er lautet:

V = V ( x, y, z, t ) . (2.2)

Der Operator der kinetischen Energie T setzt sich zusammen aus den Impulsoperatoren der drei Richtungen x, y und z. Hier ist als Beispiel der Impulsoperator der x-Richtung dargestellt (für die y- und die z-Richtung gilt entsprechendes):

Der Zusammenhang zwischen den Impulsoperatoren und dem Operator der kinetischen Energie erinnert uns an die klassische Physik:

(2.3)

Dabei definieren wir:

Also lautet der Hamilton-Operator H in der Ortsdarstellung:

(2.4)

Setzen wir den Hamilton Operator H nach Gleichung (2.4) in Gleichung (2.1) ein, so erhalten wir schließlich:

(2.5)

Mit diesem Ausdruck lässt es sich gut weiterarbeiten.

Vielleicht war der obere Abschnitt etwas verwirrend: Wir haben vieles gegeben und wenig begründet. Doch unser Ziel ist die quantenmechanische Beschreibung eines Elektronengases, nicht eine Einführung in die Quantenmechanik, zu der die Schulmathematik nicht ausreichen würde.

Dagegen können wir die Schrödinger-Gleichung (2.5) allein mit dem Wissen der Schulmathematik lösen, so hoffen wir jedenfalls. Wie wir noch sehen werden, kann die stationären Lösungen als Energie-Eigenzustände der Elektronen verstehen.

Versuchen wir, die Schrödinger Gleichung (2.5) anhand eines Beispiels zu lösen (keine Panik! Der Lösungsweg ist zu späteren Rechnungen des ein- und dreidimensionalen Falls nicht notwendig). Zur Übung machen wir es uns anfangs besonders leicht, wir betrachten:

Ein Elektron, eingeschränkt auf ein Intervall der x-Achse

Genauer: Das Elektron wird auf ein Intervall von x = 0 bis x = a beschränkt. Um diese Bedingung zu garantieren, setzen wir die potentielle Energie außerhalb dieses Intervalls gleich unendlich, innerhalb gleich null (als zusätzliche Vereinfachung). Mathematisch formuliert:

(2.6)

Die Schrödinger-Gleichung hat also die Form:

(2.7)

Wir machen einen Ansatz mit getrennten Variablen:

Ansatz:

(2.8)

Diesen Ansatz versuchen wir zu verifizieren. Zuerst betrachten wir nur die linke Seite der partiellen Dgl. (2.7):

Verifikation:

Wir erkannten einen Energieausdruck E und kürzten ab:

Der Ansatz (2.8) ist eine Lösung der (zeitabhängigen) Schrödinger-Gleichung (2.7), wenn u(x) die folgende Dgl. erfüllt:

oder einfacher:

Diese Dgl. ist die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung unseres Problems. Sie ist hier eine gewöhnliche Dgl.:

An dieser Stelle berücksichtigen wir Gleichung (2.6), die wegen der speziellen Form der potentiellen Energie zu der erwünschten Vereinfachung der Rechnung führt:

<=>

(2.9)

mit der Abkürzung:

(2.10)

Wir sehen: Ansatz (2.8) ist eine Lösung der zeitabhängigen Schrödinger-Gleichung (2.7), wenn u(x) eine Lösung der zeitunabhängigen Schrödinger-Gleichung (2.9) ist. Bevor wir uns auf Dgl. (2.9) stürzen, müssen wir jedoch ein paar Worte über die sogenannten Normierungsbedingung verlieren.

Eine Normierungsbedingung ist eine allgemeine Bedingung, die alle PSI-Funktionen (alle quantenmechanischen Wellenfunktionen) erfüllen müssen. Sie ergibt sich aus dem Formalismus der Quantenmechanik. Die PSI-Funktionen sind auf Eins normiert, das heißt:

Eine PSI-Funktion ordnet jedem Koordinatenquadrupel (x|y|z|t) eine komplexe Zahl zu. Der Wert von PSI-Stern bedeutet den konjugiert komplexen Wert des PSI-Funktionswertes. Für uns ist wichtig, u(x) als Lösung von Dgl. (2.9) so zu definieren, dass Ansatz (2.8) die Normierungsbedingung nicht verletzt: u(x) darf nicht für alle x gleich null sein.

Wir müssen folgendes zusätzlich beachten:

Kennen wir die Zerlegung des PSI-Funktionswertes ...

... in seinen Realteil a(x, y, z, t) und seinen Imaginärteil b(x, y, z, t) , so kennen wir auch die Zerlegung des konjugiert komplexen Wertes der PSI-Funktion:

Zur Interpretation der Normierungsbedingung formen wir den Integranden um:

Hier sehen wir, dass der Integrand niemals negativ sein kann. Max Born hat diesen Integranden als die Dichte einer Aufenthaltswahrscheinlichkeit interpretiert. Es gilt für alle Zeiten nach der Normierungsbedingung:

u(x) muss gewährleisten, dass Ansatz (2.8) diese Ungleichung erfüllt:

Die Interpretation der Aufenthaltswahrscheinlichkeit zwingt uns bei der Definition von u(x), Stetigkeitsbedingungen zu berücksichtigen. Darunter verstehen wir, dass die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Elektrons an den Rändern unseres Intervalls x = 0 und x = a (und darüber hinaus) null sein muss. Fassen wir beide Bedingungen nochmal zusammen:

Zusammenfassung

Bei der Formulierung einer Lösung von Dgl. (2.9) müssen wir zwei Bedingungen berücksichtigen:

• u(x) darf nicht für alle x gleich null sein, um die Normierungsbedingung nicht zu verletzen.
• u(0) und u(a) müssen nach der Stetigkeitsbedingung null sein.

Versuchen wir also, Dgl. (2.9) zu lösen. Wir machen folgenden Ansatz:

Ansatz:

(2.11)

Verifikation:

Wir setzen in Dgl. (2.9) ein:

Mit A 0 und k 0 ist die erste Bedingung erfüllt. In der Quantenmechanik sind alle Zustände, die sich lediglich um eine Konstante vor der PSI-Funktion unterscheiden, gleich (sie kürzt sich aus der zeitunabhängigen Schrödinger-Gleichung heraus). Der Einfachheit halber wählen wir deswegen k > 0.

Die zweite Bedingung wird erfüllt: u(0) = 0 gilt für unseren Ansatz -- und u(a) = 0 gilt nach der Wahl von:

k = n · ( p / a ) ; n .

Damit ist die Verifikation gelungen: Ansatz (2.11) ist eine stetige Lösung der zeitunabhängigen Schrödinger-Gleichung (2.9), wenn der Ansatzparameter k nach der obigen Bedingung gewählt wird. Im Folgenden wollen wir versuchen, Ansatz (2.11) anschaulich zu machen.

Setzen wir den Term von Gleichung (2.11) in Gleichung (2.8) ein, so erhalten wir Wellenfunktionen (PSI-Funktionen) mit Termen der Form:

mit den Abkürzungen:

;

Diese stationären Lösungen (diese Wellenfunktionen) der zeitabhängigen Schrödinger-Gleichung (2.7) beschreiben die Eigenzustände der Energie. Die Wahl des Parametes k des Ansatzes (2.11) bedeutet, dass dieser Ansatz nur für ganz bestimmte Wellenlängen gilt: Für Wellenlängen, deren Kehrwert ein ganzzahliges Vielfaches von 1/(2a) ist: Die Wellenzahl k kommt nur gequantelt vor. Wegen (2.10) gilt:

,

also

,

oder auch:

(2.12)

Hier erkennen wir die Quantelung der Energie: Wie es nur gequantelte Wellenzahlen gibt, so auch nur gequantelte Energie-Eigenwerte. Der Faktor n in Formel (2.12) durchläuft die natürlichen Zahlen 1, 2, 3, ... (wir haben k > 0 gewählt) und charakterisiert dadurch jeden Energie-Eigenzustand. Unser einzelnes Elektron kann durch entsprechenden Energiezufuhr jeden Energie-Eigenzustand sprunghaft einnehmen. n heißt Quantenzahl.

Eine Empfehlung: Präge dir Formel (2.12) gut ein, denn auf ihr basieren unsere eindimensionalen Überlegungen.

Ein Elektron, beschränkt auf einen Quader

Da die Energie-Formel (2.12) nur für eindimensionale Betrachtungen gilt, möchten wir dich im Anschluss deren auf die realitätsnähere, dreidimensionale Rechnung vorbereiten. Dazu werden wir abermals die Schrödinger-Gleichung lösen, doch erweitern wir die potentielle Energie auf alle drei Raumrichtungen. Der Operator der potentiellen Energie V ist also die Multiplikation mit dem Funktionsterm:

V = V(x, y, z) .

Das Elektron soll auf einen Quader der Kantenlängen a, b, c beschränkt werden. Deswegen definieren wir die potentielle Energie wie folgt:

(2.13)

Für den Operator der kinetischen Energie T ändert sich nichts. Die Schrödinger Gleichung lautet also:

(2.14)

Diesmal muss unser Ansatz alle Variablen berücksichtigen. Zuerst trennen wir die Ortskoordinaten von der Zeitkoordinate (Trennen der Variablen):

Ansatz:

(2.15)

mit folgenden Randbedingungen (um die Stetigkeitsbedingung nicht zu verletzen):

und

Verifikation:

Die linke Seite von Dgl. (2.14) lautet nach Ansatz (2.15):

mit der Abkürzung für die Energie:

.

Ansatz (2.15) ist eine Lösung der Schrödinger-Gleichung, wenn ψ(x, y, z) die folgende Dgl. erfüllt:

oder vereinfacht:

(2.16)

Für das Potential (2.13) vereinfacht sich die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung (2.16) für den Innenraum des Quaders:

,

also:

, (2.17)

abermals mit der Abkürzung:

(2.18)

Die Energie E ist hier eine kinetische Energie, da es keine potentielle Energie im Innenraum des Quaders gibt.

Wir sind noch nicht am Ziel: Dgl. (2.17) will gelöst werden. Diese Dgl. können wir auch durch einen Ansatz mit getrennten Variablen lösen (dies wird nach einigen Schritten klar):

Ansatz:

(2.19)

Verifikation:

Betrachten wir wieder nur die linke Seite von Dgl. (2.17): Der Differentialoperator wird auf Ansatz (2.19) angewandt:

Diesen Ausdruck setzen wir zusammen mit Ansatz (2.19) in Dgl. (2.17) ein:

(2.20)

Hier sehen wir, wie sich die Varablen trennen lassen: wir dividieren beide Seiten durch u(x) · v(y) · w(z) und erhalten:

(2.21)

Ansatz (2.19) ist eine Lösung der zeitunabhängigen Schrödinger-Gleichung (2.17), wenn jeder Quotient aus (2.21) konstant ist. Das ist erfüllt, wenn jeder der drei Funktionsterme u(x), v(y) und w(z) für sich eine gewöhnliche Dgl. erfüllt:

oder auch:

Also brauchen wir nur, um Ansatz (2.19) zu verifizieren, diese drei gewöhnlichen Dgln. zu lösen -- doch das ist nicht weiter schwer, denn wir haben mit Ansatz (2.11) schon einmal solch eine Dgl. gelöst. Wir setzen also an:

Ansatz:

Verifikation:

Erinnerst du dich noch an die Randbedingungen des Ansatzes (2.15)? Durch unsere Wahl der Sinus-Funktionen sind die ersten drei Randbedingungen erfüllt:

u(0) = 0 ; v(0) = 0 ; w(0) = 0 .

Die letzten drei Randbedingungen werden erfüllt, wenn wir den Ansatzparametern k_x ,k_y und k_z folgende Bedingungen auferlegen:

(2.22)

Dabei sind l, m und n positive ganze Zahlen. Entsprechend zum vorigen Fall (im eindimensionalen Problem) muss die Normierungsbedingung durch k_x ,k_y und k_z 0 sowie A_x ,A_y und A_z 0 berücksichtigt werden. Entsprechend erfassen wir alle möglichen Eigenzustände, wenn wir k_x ,k_y und k_z > 0 wählen. l, m und n werden Quantenzahlen genannt.

Gleichung (2.21) ist erfüllt, wenn gilt:

k_x² + k_y² + k_z² = k²

Damit ist (wir erinnern uns: nach Gleichung (2.18)) die kinetische Energie gegeben durch:

<=>

(2.23)

Die Verifikation ist hiermit abgeschlossen.

Für die quantenmechanische Rechnung mit einem dreidimensionalen Elektronengas ist vor allem der Energie-Eigenwert eines Elektrons nützlich, hier durch die Formel ...

(2.24)

... gegeben, welche aus den Gleichungen (2.22), (2.23) und der Beziehung = (h / 2p) folgt.

Diese Gleichung sagt uns einiges: Der kleinste Energie-Eigenwert kann nicht null sein -- ein eingeschlossenes Elektron kann sich also auch nicht in Ruhe befinden. Je kleiner die Abmessungen des Quaders sind, desto schneller bewegt es sich. Das erinnert uns an das Heisenbergsche Unbestimmtheitsprinzip, das wir in unserer halbklassischen Theorie oft angewandt haben.

Die verschiedenen Energie-Eigenwerte kann das Elektron nur sprunghaft einnehmen -- es gibt keinen kontinuierlichen Übergang.

Ab hier sollten wir uns wundern, wenn Rechnungen das eben beschriebene Verhalten von Elektronen widerlegen.

Selbst wenn du am Ende dieser Grundlagen der Quantenmechanik den Wald kaum vor lauter Bäumen siehst (das hoffen wir nicht), solltest du nicht den Mut verlieren!

Je mehr du dich mit diesem Thema beschäftigst, desto mehr wirst du verstehen.