Teil 1

A: Grundlagen -- Zwei Prinzipien der Quantentheorie

Am Anfang dieses Jahrhunderts gab die Theorie der spezifischen Wärme der Metalle den Physikern Rätsel auf. Es konnte sich niemand erklären, warum die Leitungselektronen eines Metalls bei Erwärmung kaum Wärme aufnahmen. Sie nehmen nur etwa ein Hundertstel des Wertes auf, den sie nach der klassischen Theorie hätten aufnehmen müssen.

Es mußte eine neue Theorie her, jedoch hatte keiner gedacht, wegen dieser Diskrepanz die fundamentalen Gesetze der Physik neu zu überdenken. Als aber Fermi 1926 und nach ihm Sommerfeld und Bethe die neuentwickelte Quantentheorie auf das Gas der freien Leitungselektronen in Metallen anwandten, stellte sich heraus, daß diese Modellvorstellung die Wirklichkeit überraschend gut wiedergab.

Wir bauen unsere halbklassische Theorie auf zwei Prinzipien der Quantenphysik auf:

1. das Paulische Ausschließungs-Prinzip,

2. das Heisenbergsche Unbestimmtheits-Prinzip.

Wolfgang Pauli entdeckte 1925 das Ausschließungs-Prinzip für Atomelektronen. Er versuchte mit Hilfe einer vierten Quantenzahl die Atomspektren zu erklären (näheres zu Quantenzahlen findest du in den Grundlagen der Quantenmechanik).

Dieses Prinzip wurde anfangs nur von den Spektroskopikern freudig aufgenommen, ansonsten traf es nicht auf viel Zustimmung, es konnte sich zuerst niemand etwas unter einem vierten Zustandsparameter vorstellen. Das Prinzip wurde letztendlich von allen angenommen, als 1926 die vierte Quantenzahl als Spin interpretiert wurde. Du kannst dir den Spin als einen gewissen Drall eines Teilchens vorstellen.

Es gibt zwei Typen von Teilchen: Die mit halbzahligem und die mit ganzzahligem Spin. Alle Teilchen, die einen halbzahligen Spin besitzen, werden Fermionen genannt, alle mit ganzzahligem Bosonen.

Kurz und knapp, der Zustand eines Teilchens zu einer gegebenen Zeit ist festgelegt durch:

• den Ort,

• die momentane Geschwindigkeit,

• den Spin.

Nach Pauli dürfen zwei Fermionen nie zur gleichen Zeit im gleichen Zustand sein. Sind beispielsweise bei zwei Elektronen (mit Spin 1/2 oder -1/2) zwei der drei obigen Zustandsparameter gleich, so müssen sie sich im dritten unterscheiden, um das Prinzip nicht zu verletzen. Dieses Verbot gilt für Bosonen nicht: Lichtteilchen (Photonen) gehören zu den Bosonen. Viele Lichtteilchen können sich im gleichen Zustand befinden z.B. in Lasern.

Zwei Jahre nach Paulis Entdeckung fand Heisenberg das nach ihm benannte Unbestimmtheits-Prinzip, das besagt:

Das Produkt aus den Unschärfen des Ortes und des Impulses eines Teilchens darf nicht kleiner als eine Mindestgröße sein. Diese Mindestgröße heißt Plancksches Wirkungsquantum. Nach Heisenberg können also Ort und Impuls eines Teilchens nicht gleichzeitig beliebig scharf bestimmt werden. Je genauer der Ort bekannt ist, desto ungenauer der Impuls, und umgekehrt. Diese Unschärfe-Relation lautet also:

x · p_x h

x : = Ortsunschärfe ; p_x : = Impulsunschärfe ( p_x : = M · v_x ) ; h : = Plancksches Wirkungsquantum ( 6,6 ·10^-34 kg m² s^-1 ).

Ein erstes Beispiel zur Unschärfe-Relation soll so einfach wie möglich sein:

Ein Elektron ist in einem eindimensionalen Raum eingesperrt -- du brauchst nur an einen zwei Meter langen Draht zu denken, allerdings ohne Durchmesser. Die Ortsunschärfe x des Elektrons beträgt einen Meter, denn der Ort des Elektrons ist durch den Draht festgelegt: x = 0 ± 1 m. Dazu wollen wir die bestmögliche Impulsunschärfe p_x des Elektrons ausrechnen. Es gilt:

p_x = M · v_x

und

x · p_x = h ;

M : = Masse eines Elektrons ( 9,1 ·10^-31 kg ) ; v_x : = Geschwindigkeitsunschärfe.

Also konkret:

Deutlich erkennen wir anhand der Proportionalitäten: Würden wir den Draht um den Faktor 1000 auf zwei Millimeter verkleinern, so würde sich die Geschwindigkeitsunschärfe tausendfach erhöhen.

Konntest du den Überblick behalten? Natürlich! Darum können wir uns wirklich ohne Sorgen dem eindimensionalen Fall zuwenden.