Der dreidimensionale Fall

Das Schönste an der halbklassischen Theorie zum Schluß: das Elektronengas dreidimensional. Wir betrachten einen Festkörperwürfel: ein Gitter regelmäßig angeordneter Atomrümpfe, zwischen denen sich die frei beweglichen Leitungselektronen hindurchschlängeln. Wie in den vorangegangenen Überlegungen des ein- und zweidimensionalen Falls betrachten wir wieder das Elektronengas der Valenzelektronen. Gedanklich kühlen wir diesen Kristall und sein Gas auf die absolute Temperatur T = 0 ab und versuchen nachzuvollziehen, was mit den Elektronen passieren wird.

Mit dem Heisenbergschen Unschärfeprinzip und dem Paulischen Ausschließungsprinzip, den Grundaussagen unserer halbklassischen Theorie, stellen wir fest:

Der Ort eines Elektrons des Elektronengases ist auf den Raum beschränkt, den der Kristall und somit das Gas einnimmt. Für einen Kristall der Kantenlänge von zwei Metern können wir die Ortskoordinaten eines Elektrons also nur mit einer gewissen Unschärfe angeben: x = 0 ± 1 m; y = 0 ± 1 m; z = 0 ± 1 m. Die Koordinatenunschärfe ist die halbe Kantenlänge des Kristalls. Wir sagen auch, die Ortsunschärfen x, y und z betragen je einen Meter.

Abhängig von der Ortsunschärfe x ergibt sich nach Heisenberg eine Mindestgeschwindigkeitsunschärfe v. In den Grundlagen zur halbklassischen Theorie haben wir uns ausführlicher damit beschäftigt. Weil wir es mit einem Kristallwürfel zu tun haben, gilt: x = y = z und v_x = v_y = v_z . Im Folgenden bezeichnen wir die Ortsunschärfen mit x, die Geschwindigkeitsunschärfen mit v.

Paulis Prinzip fordert, wie wir bereits wissen, daß sich jedes Elektron des im Würfel eingeschlossenen Gases in einem anderen Zustand befinden muß. Daraus folgt: bei T = 0 gibt es nur zwei ruhende Elektronen des Gases (zwei Elektronen mit verschiedenem Spin). Für ihre Geschwindigkeitskoordinaten gilt: v_x = 0 ± v; v_y = 0 ± v; v_z = 0 ± v. Solch eine Geschwindigkeitsunschärfe definiert einen Bereich im Geschwindigkeitsraum: ein Volumen mit dem Inhalt (2 v)³.

Dieses Geschwindigkeitsvolumen, egal ob am Geschwindigkeitsnullpunkt oder anderswo, kann nur von maximal zwei Elektronen besetzt werden. Wir nennen es eine Zelle. Diese Zelle unterscheidet sich von den Geschwindigkeitszellen im ein- und zweidimensionalen Fall nur durch ihre Dimension; die Überlegung, die dahintersteckt, ist die gleiche.

Am absoluten Temperaturnullpunkt nehmen die freien Elektronen die energetisch niedrigsten Zustände ein, wie auch im Ein- und Zweidimensionalen. Nach der klassischen Theorie haben bei T = 0 alle freien Elektronen die Geschwindigkeit v = 0; doch nach unseren Überlegungen gibt es nur zwei freie Elektronen, die diese Geschwindigkeit zum Mittel haben. Die übrigen Elektronen sind gezwungen, die Nachbarzellen und ggf. weiter entfernte Zellen zu besetzen, deren Geschwindigkeiten alle ungleich null sind.

Die Nullgeschwindigkeitszelle bezeichnen wir auch als Nullenergiezelle oder kurz Nullzelle E_0|0|0 , wobei der dreifache Index 0|0|0 die Position der Zelle im Geschwindigkeitsraum anzeigen soll.

Wir tun so, als hätten die Elektronen keine potentielle Energie, wir beschreiben das Modell eines freien Elektronengases. Dessen Teilchen haben nur kinetische Energie.

Dürfen wir das überhaupt?

Keine Panik: Rechnungen, die zusätzlich die elektrische Wechselwirkung der Elektronen untereinander berücksichtigen, weichen in ihren Ergebnissen nur geringfügig von denen unserer Rechnungen ab.

Überlegen wir uns einmal anhand eines Beispiels, wie sich die Elektronen bei T = 0 auf die Zellen des Geschwindigkeitsraumes verteilen, und welche Energie darum das Elektronengas (bei T = 0) hat.

Die Energie eines Elektronengases mit 15 Elektronen

In unserem Beispiel hat ein Elektronengas N = 15 Elektronen. Es befindet sich in einem würfelförmigen Kristall mit der Kantenlänge von zwei Metern. So ein Kristall wäre ein fast idealer Isolator (ideal wäre ein Isolator mit überhaupt keinem freien Elektron).

Bei T = 0 befinden sich zwei Elektronen in der Nullzelle E_0|0|0 , und die sechs Nachbarzellen E_1|0|0 , E_-1|0|0 , E_0|1|0 , E_0|-1|0 , E_0|0|1 und E_0|0|-1 werden ebenfalls von je zwei Elektronen besetzt. Sie haben dort die mittlere Geschwindigkeit von 2 v (vgl. den zweidimensionalen Fall). Das letzte verbleibende Elektron befindet sich in einer der zwölf nächsten Zellen, beispielsweise in E_1|0|1 . Dessen Geschwindigkeit setzt sich aus einer x-Komponente und einer z-Komponente zusammen. Das erinnert uns an Pythagoras:

v_1|0|1² = ( 2 v_x )² + ( 2 v_z )² = 2 ( 2 v )² .

Nach den drei Bedingungen ...

E_0|0|0 = 0 ;

E_1|0|0 = ( M / 2 ) · ( 2 v )² (1.18)

und

E_1|0|1 = ( M / 2 ) · v_1|0|1² = ( M / 2 ) · 2 ( 2 v )² = 2 E_1|0|0

... ergibt sich die Gesamtenergie E_Gas des Gases als Vielfaches von E_1|0|0:

E_Gas = 2 E_0|0|0 + 12 E_1|0|0 + 1 E_1|0|1 = 14 E_1|0|0 .

Die Ortsunschärfe x = 1 m bestimmt nach Gleichung (1.3) die Geschwindigkeitsunschärfe v:

v = 7,3 ·10^-4 m s^-1 .

Nach Gleichung (1.18) (entsprechend zu Gleichung (1.1)) erhalten wir eine unvorstellbar kleine Gesamtenergie in Joule. Sie beträgt:

E_Gas = 14 · ( 9,1 ·10^-31 kg / 2 ) · ( 2 · 7,3 ·10^-4 m s^-1 )² = 1,4 ·10^-35 J .

Wird es sich überhaupt lohnen, die Nullpunktsenergie eines Elektronengases in einem Metall mit einer sehr großen Elektronenzahl N auszurechnen? Oder ist die Nullpunktsenergie selbst dann noch so klein, daß wir sie vernachlässigen können? - Es gibt nur eine Möglichkeit, unsere Fragen zu beantworten.

Die Energie eines Elektronengases mit 2,7 ·10²⁸ Elektronen

Von N = 15 auf N = 2,7 ·10²⁸ Elektronen machen wir einen großen Sprung. Hier haben wir es mit so vielen Elektronen zu tun -- wir bräuchten mehr Zeit, alle Energien einzeln aufzusummieren, als das bisherige Weltalter! (würden wir ohne Unterbrechung in je einer Sekunde die Energie eines Elektrons aufschreiben, so hätten wir 8,5 ·10²⁰ Jahre zu tun). Wir brauchen also eine andere Methode.

Diese neue Methode ist abstrakter und etwas komplizierter: Unsere Gedankenschritte spielen sich fast völlig im Geschwindigkeitsraum ab, der darüberhinaus dreidimensional ist (es gibt drei Richtungen, in die sich ein Elektron bewegen kann). Gehen wir wie im zweidimensionalen Fall vor:

Im Geschwindigkeitsraum gibt uns der Abstand eines Elektrons vom Ursprung dessen momentanen Geschwindigkeitsbetrag an. Bei T = 0 verteilen sich die Elektronen des Elektronengases so auf die Geschwindigkeitszellen, daß ihnen keine (kinetische) Energie mehr entzogen werden kann.

Da sich nur zwei der N = 2,7 ·10²⁸ Elektronen die Nullzelle teilen können, müssen sich die anderen wohl oder übel mit den umliegenden Zellen begnügen. Die besetzten umliegenden Zellen bilden eine Kugel, ähnlich einer Flüssigkeit, die sich in der Schwerelosigkeit zu einer Kugel zusammenzieht. Diese Kugel ist nahezu vollkommen - die gewaltige Anzahl der Elektronen machts möglich. Der Rand der Kugel ist nicht genau festgelegt: Mehr oder weniger viele Elektronen können die gleiche größte Energie haben. Darum ist die Zahl der besetzten Zellen nur ungefähr gleich N/2.

Die größte Elektronenenergie heißt nach Enrico Fermi die Fermi-Energie E_F . Entsprechend heißt die größte Geschwindigkeit Fermi-Geschwindigkeit v_F .

Um die niedrigstmögliche Energie E_Gas des Elektronengases zu finden, suchen wir zunächst nach einer Formel, die uns eine Schalenenergie liefert. Wir stellen uns die Kugel aus konzentrischen Schalen mit dem Radius r und der infinitesimalen Dicke dr aufgebaut vor. Zuerst berechnen wir die Anzahl N_Z von besetzten Zellen (nicht zu verwechseln mit N, der Zahl der Elektronen) einer Schale.

Alle Elektronen dieser Schale haben die gleiche Energie, die von dem jeweiligen Schalenradius abhängt. Haben wir eine Schalenenergie-Formel gefunden, so können wir die Energien aller Schalen - von der Innersten bis zur Äußersten - durch Integration aufsummieren. Als Belohnung erhalten wir die Gesamtenergie eines dreidimensionalen Elektronengases bei T = 0. Die Arbeit ruft!

Also, eine Kugelschale besetzter Zellen hat den Radius r und die Dicke dr. Das infinitesimale Schalenvolumen dV ergibt sich nach der Formel:

dV = 4 p r² · dr . (1.19)

Das Volumen einer Zelle kennen wir auch: (2 v)³. Mit (1.19) bestimmen wir die Anzahl dN_Z der Schalenzellen:

dN_Z = dA / ( 2 v )³ = ( 4 p r² · dr ) / ( 2 v )³ . (1.20)

Die kinetische Energie E_Z beider Elektronen einer Zelle liefert Gleichung (1.9). Wir schreiben sie der Übersicht wegen noch einmal hin:

E_Z = 2 · ( M / 2 ) · r² .

Daraus folgt, siehe Gleichung (1.10):

dE (r) = dN_Z · E_Z

= [ ( 4 p r² · dr ) / ( 2 v )³ ] · 2 ( M / 2 ) · r²

= [ ( 4 p M ) / ( 2 v )³ ] · r⁴ · dr . (1.21)

Sehr schön! Wir haben es gleich geschafft: dE (r) ist die gesuchte Schalenenergie in Abhängigkeit vom Schalenradius r. Mittels Integration summieren wir die Schalenenergien aller Schalen vom Radius r = 0 bis zum Radius r = R_F auf (bzw. die Energien von E = 0 bis E = E_F).

(1.22)

(1.23)

Eine schöne Formel wie (1.23) für die Gasenergie zu haben, ist gut; sie auch konkret auszurechnen, ist natürlich besser. Nur noch unsere Unkenntnis des Fermi-Radius R_F (der Fermi-Geschwindigkeit) hindert uns daran, gleich loszulegen. Um ihn zu bestimmen, brauchen wir nur zwei Formeln. Beide beschreiben das Kugelvolumen V unserer Kugel, der Fermi-Kugel oder wie immer du sie nennen möchtest. Mit Formel Nr. 1 ...

V = ( 4 / 3 ) · p R_F³ (1.24)

... und Formel Nr. 2 ...

V = ( N / 2 ) · ( 2 v )³ (1.25)

... bekommen wir R_F durch Gleichsetzen:

( 4 / 3 ) · p R_F³ = ( N / 2 ) · ( 2 v )³

<=>

(1.26)

Bis hierher haben wir die Form des Metallwürfels nicht erwähnt. Um die Geschwindigkeitsunschärfe v in Gleichung (1.26) konkret auszurechnen, erinnern wir uns: Die Kantenlängen des Würfels betragen zwei Meter, die Ortsunschärfe(n) x somit 1 m. Das ergibt (nach Gleichung (1.16)) etwa die Geschwindigkeitsunschärfe(n) v = 7,3 ·10^-4 m s^-1. Daraus folgt ein Fermi-Radius bzw. eine Fermi-Geschwindigkeit von:

Dieses Ergebnis setzen wir in Gleichung (1.23) ein:

Wow! Es hat sich tatsächlich gelohnt, die Energie des Gases auszurechnen (das hast du sicherlich auch vermutet -- sonst hätten wir wohl kaum diesen Haufen an Rechenschritten mit dir zusammen durchziehen können!).

Dieses Ergebnis zeigt deutlich den Unterschied zwischen der klassischen und unserer halbklassischen Theorie, die wir lediglich mit zwei quantenphysikalischen Prinzipien entwickelt haben.

Wie auch im zweidimensionalen Fall zum Schluß eine kurze Ausführung, wie sich das Gas im Würfel verhält, wenn es -- beispielsweise auf Raumtemperatur -- erhitzt würde.

Das Elektronengas zu erhitzen bedeutet, ihm mehr kinetische Energie zuzuführen. Auf unser halbklassisches Modell übertragen: Elektronen würden dabei ihre ursprünglichen Zellen verlassen und sich andere Zellen suchen, die vom Geschwindigkeitsnullpunkt weiter entfernt sind. Und das bedeutet für unsere Fermi-Kugel:

Wenn ihr nur ein wenig Energie zugeführt wird, wie bei der Erwärmung des Metallfestkörpers von T = 0 auf T = 300 K, dann können nur die äußersten Elektronen ihre Zellen verlassen und weiter außen befindliche Zellen besetzen. Elektronen, die sich in Zellen tief innerhalb der Kugel befinden, können ewig warten, bis eine Nachbarzelle frei wird. Nur etwa ein hundertstel aller Leitungselektronen kann die Wärmeenergie des Gitters aufnehmen.

Die Kugel wird umso stärker zerstört, desto stärker das Gas erhitzt wird (der Fermi-Eisblock beginnt zu schmelzen!). Bei Raumtemperatur ist die Kugel noch stark ausgeprägt und das Gas der Leitungselektronen besitzt nur eine geringe spezifische Wärmekapazität.

Wir hoffen, dir mit dieser Symbiose aus Theorie und Anwendung einen Vorgeschmack auf die quantenmechanische Theorie der Elektronengase gegeben zu haben. Dort wird es (leider? hoffentlich?) noch viel abstrakter. Aber wenn wir uns erst einmal eingearbeitet haben, werden wir in der Lage sein, ein Elektronengas genauer zu beschreiben.

Es beginnt zu dämmern. Beim nächsten Klicken auf dem Schirm wird die Quantenmechanik aufgehen.