B: Die Nullpunktsenergie -- Quantenmechanische Rechnung 1D

Unser Ziel ist es, die Gesamtenergie, die Fermi-Energie und die mittlere Elektronenenergie exakt zu berechnen, -- alle drei Größen zunächst nur für ein 1D-Modell.

Dazu betrachten wir zuerst, wie in unserer halbklassischen Theorie beim absolutem Temperaturnullpunkt T = 0, einen eindimensionalen Festkörper, den wir uns wieder als ganz dünnen Draht oder als Fadenmolekül vorstellen können.

Den Festkörper beschreiben wir als Gitter von positiv geladenen Ionen, durch das sich freie Elektronen bewegen können. Wir interessieren uns hier für das Gas der freien Leitungselektronen. Die Coulombsche Wechselwirkung zwischen den Elektronen vernachlässigen wir (bis auf gelegentliche Stöße), darum können wir jedes der Gaselektronen als einzelnes Teilchen für sich beschreiben.

Jedes dieser Elektronen kann einen Energie-Eigenzustand des Einelektronen-Problems besetzen, siehe Gleichung (2.12), wenn der Zustand noch frei ist: Nach dem Pauli-Prinzip können nur zwei Elektronen (mit verschiedenem Spin) je einen der Einelektronen-Energie-Eigenwerte einnehmen. Der größte bei T = 0 besetzte Energie-Eigenwert des Einelektronen-Problems heißt Fermi-Energie E_F . Wenn das Gas aus N Elektronen besteht, werden bei T = 0 die am tiefsten liegenden N/2 Eigenwerte besetzt, der größte davon hat also die Quantenzahl n = N/2.

Es gilt die Beziehung (2.12):

Daraus folgt, wie wir uns überlegt haben, für die Fermi-Energie:

(2.25)

Als nächstes wollen wir, wie wir uns vorgenommen haben, die Gesamtenergie E_Gas des Gases bei T = 0 bestimmen. Wieder knüpfen wir an Gleichung (2.12) an. Wir addieren über alle doppelt besetzten Energie-Eigenwerte von n = 1 bis n = N/2:

Im Folgenden benutzen wir (wie im Abschnitt 1 B: Der 1D-Fall) die Summenformel:

So erhalten wir:

Für N/2 1 gilt: N/2 + 1 N/2 ;

Diese Energie vergleichen wir mit der Fermi-Energie (siehe Gleichung (2.25)):

(2.26)

So weit so gut, wir haben also die Formel für die Gesamtenergie des Gases. Jetzt möchtest du sicher noch gerne die mittlere Elektronenenergie berechnet haben. Dazu brauchst du nur die Gesamtenergie des Gases durch die Anzahl der Elektronen zu dividieren:

Nach Definition gilt also:

(2.27)

Mit den Gleichungen (2.25), (2.26) und (2.27) haben wir drei allgemeine Formeln. Der Formeln sind genug gewechselt, nun lasst uns uns endlich Zahlen sehn! Wir sollten so viele Elektronen annehmen, dass der Unterschied zwischen (N/2) +1 und N/2 unmessbar klein ist. Deswegen wählen wir N = 3 ·10⁹ und a = 1 m.

Dabei stellen wir uns eine Kette von Metallatomen vor: Drei Atome hintereinander sollen eine Kette von einem Nanometer Länge bilden; eine Kette von 3 ·10⁹ Atomen wäre einen Meter lang. Jedes Metallatom soll ein Außenelektron an das Gas abgeben. Damit haben wir ein eindimensionales Modellsystem eines Metalldrahts von einem Meter Länge mit einem Gas von 3 ·10⁹ Leitungselektronen.

Berechnen wir die Fermi-Energie nach (2.25) für diese Parameter:

Das ist immerhin mehr, als die mittlere Schwingungsenergie der Gitterbausteine bei Zimmertemperatur: (3/2) · k · T = 6,21 ·10^-21 J. Aus der Fermi-Energie erhalten wir die Gesamtenergie des Elektronengases nach Gleichung (2.26):

Fehlt nur noch die mittlere Elektronenenergie (nach (2.27)):

Die Gesamtenergie des Gases von 1,3 ·10^-11 J ist nicht überwältigend -- aber warte nur, im dreidimensionalen Fall ist sie gewaltig!