Quantenmechanische Rechnung 3D
Nach dem eindimensionalen Fall wollen wir uns auf die dreidimensionale Rechnung stürzen.
Natürlich ist ein dreidimensionales Elektronengas nicht ganz so einfach wie ein eindimensionales Elektronengas, aber für dich ist es auch nur ein kleiner Fisch. Zudem ist ein dreidimensionales Gas viel faszinierender und außerdem realitätsnäher als ein eindimensionales Gas.
Wir werden im folgenden zuerst die größte kinetische Energie eines Elektrons (Fermi-Energie) des Gases berechnen. Eine ähnliche Rechnung gibt uns die Gesamtenergie des Gases und damit auch die mittlere Elektronenenergie. Das Gas soll, wie im vorigen Fall, aus N Elektronen bestehen und die Temperatur T = 0 haben; diesmal aber soll das Gas in einem Würfel eingeschlossen sein, einem Würfel mit der Kantenlänge a. Hier im Dreidimensionalen unterscheiden wir die Energie-Eigenwerte und die zugehörigen Eigenfunktionen durch Tripel von Quantenzahlen l, m und n (siehe Grundlagen der Quantenmechanik von Elektronengasen). Die drei Quantenzahlen l, m und n sollen positiv ganz sein.
Stell dir einfach die Quantenzahlentripel (l/m/n) der Einelektronen-Energie-Eigenwerte als Punkte in einem abstrakten Raum vor. Jeder dieser Punkte besitzt als Koordinaten die drei Quantenzahlen l, m, n. Die Anordnung dieser Punkte ergibt, wie bei den Atomen eines einfach kubischen Kristallgitters, ein einfach kubisches Punktgitter. Die Punkte haben hier nur positive Koordinaten, dementsprechend wird nur ein Oktant des abstrakten Raumes von ihnen erfüllt.
Wenn wir uns in diesem Raum, wie in unseren folgenden Überlegungen, eine Kugel um den Koordinatenursprung vorstellen, befinden sich die zulässigen Tripelpunkte der Kugel also in einem Achtel der Kugel.
Die Entfernung r, die einer dieser Tripelpunkte vom Koordinatenursprung hat, nennen wir den Betrag des Radiusvektors dieses Tripels. Nach Pythagoras berechnet sich diese Entfernung aus der Wurzel der Quadratsumme der Quantenzahlen:
Im eindimensionalem Fall hatten wir schon eine eigene Formel für den Energieeigenwert aufgestellt. Ganz entsprechend erhalten wir für den dreidimensionalen Fall für El|m|n (siehe auch die Grundlagen von Teil 2):
Nach Definition von r ist also der Energieeigenwert proportional zum Quadrat des Radiusvektors:
Lösen wir unser Versprechen ein, die Fermi-Energie zu berechnen, die größte Einelektronen-Energie bei T = 0:
Faul wie wir sind, kürzen wir ab:
RF nennen wir den Fermi-Radius. Damit ergibt sich:
(2.28)
Also sind bei T = 0 alle Quantenzahlentripel (l/m/n) doppelt mit Elektronen besetzt, deren Radiusvektor kürzer als der Fermi-Radius ist. Die Elektronen füllen also bei T = 0 eine Achtelkugel im abstrakten Raum der Quantenzahlentripel aus. Diese hat den Fermi-Radius RF .
Gut, das Problem, die Verteilung der Elektronen bei T = 0 zu bestimmen, haben wir gelöst. Doch stehen wir jetzt vor einem neuen Problem: Um die Fermi-Energie zu kennen, müssen wir zuerst einmal den Fermi-Radius RF kennen.
Berechnen wir also den Fermi-Radius. Dazu gehen wir von zwei Grundgleichungen aus, die wir im Folgenden kombinieren:
;
(Zur ersten Gleichung eine kurze Erläuterung: Zwei benachbarte Quantenzahlentripel haben den Abstand eins voneinander. Jedes Tripel ist also Mittelpunkt eines abstrakten, würfelförmigen Volumens der Größe eins.)
Also:
<=>
(2.29)
Da wir den Fermi-Radius kennen, können wir endlich die Fermi-Energie EF berechnen. Wir setzen Ergebnis (2.29) in Gleichung (2.28) ein:
<=>
(2.30)
Eine konkrete Berechnung der Fermi-Energie eines Elektrons folgt, nachdem wir zusätzlich die Gesamtenergie des Gases kennen. Deshalb wollen wir keine Mühe scheuen, sie auch noch herzuleiten. Wir gehen vom Volumen dV einer Achtelkugelschale mit der infinitesimalen Dünne dr aus.
Das Volumen dV ist gleich der Zahl aller (mit Elektronen) besetzten Tripel der gleichen Energie; all diese Tripel haben den gleichen Radiusvektor.
Das Energie-Differential dE ist das Produkt aus der Zahl dV besetzter Tripel gleicher Energie und der Energie 2 E(r) eines doppelt besetzten Quantenzahlentripels in Abhängigkeit von r (mit dem Faktor 2 berücksichtigen wir die doppelte Besetzung des Tripels):
Zur Vereinfachung kürzen wir ab:
Um die Gesamtenergie zu finden, integrieren wir über alle Achtelkugelschalen der Dicke dr vom Radius r = 0 bis zum Radius r = RF :
Damit haben wir sie, die Formel für die Gesamtenergie. Jetzt brauchen wir nur noch den Ausdruck für K einzusetzen:
Den Fermi-Radius RF übernehmen wir aus Gleichung (2.29):
(2.31)
Wir spüren jetzt schon deine Zufriedenheit; immerhin war es nicht einfach, zur Gesamtenergie zu gelangen. Fehlt nur noch die mittlere Elektronenenergie -- aber das schaffen wir auch noch. Die mittlere Elektronenenergie definieren wir als die Gesamtenergie des Gases, geteilt durch die Zahl N der Elektronen (vgl. Abschnitt 2, B: Der 1D-Fall). Kurz:
Daraus folgt:
(2.32)
Hurra, jetzt ist auch die letzte Hürde genommen. Wir können uns schon vorstellen, daß deine Freude darüber nicht gerade klein ist. Vielleicht hast du schon bemerkt, daß zwischen der mittleren Elektronenenergie <E> und der Fermi-Energie EF ein konstantes Verhältnis existiert:
(2.33)
Mit diesem leichten Verhältnis ist es für dich nicht schwer, bei bekannter Fermi-Energie die mittlere Elektronenenergie zu berechnen, und umgekehrt.
Konkrete Werte:
Endlich siehst du unsere Formeln in Aktion: Stellen wir uns einen Silberwürfel mit der Kantenlänge a = 1 m und N = 5,85 ·1028 Leitungselektronen vor. Den Fermi-Radius des Elektronengases dieses Silberschatzes erhalten wir nach Gleichung (2.29):
Daraus können wir die Fermi-Energie berechnen: Wir setzen die konkreten Werte in Gleichung (2.30) ein und erhalten:
Ist es nicht wunderbar, für die Fermi-Energie einen konkrete Wert zu haben? Als nächstes nehmen wir uns die Gesamtenergie vor. Diesmal setzen wir die konkreten Werte in Gleichung (2.31) ein:
Wer hätte gedacht, dass dieses Elektronengas bei T = 0 solch eine hohe Energie hat? Dieses Ergebnis verdeutlicht uns den gravierenden Unterschied zwischen Quantentheorie und der Drudeschen klassischen Theorie der Elektronengase.
Aller guten Dinge sind drei -- so bekommen wir die mittlere Elektronenenergie nach Gleichung (2.32):
Damit haben wir erreicht, was wir uns vorgenommen haben. Mit den drei konkreten Berechnungen schließen wir die Behandlung der Nullpunktsenergie des Elektronengases ab.