Урок 5   

Метод подібності

Один з способів обчислення фрактальної розмірності використовує саме-подібність. Наприклад, візьміть відрізок з розмірністю 1. Еслі ви розглянете його із збільшенням в 2 разу, ви увидете 2 ідентичних відрізка. Давайте використати змінну D для розмірності, е для збільшення, і N для кількості ідентичних фігур.

Тепер візьмемо квадрат і трикутник з розмірністю 2. С збільшенням 2, ви отримаєте 4 ідентичні фігури в обох з них.

Тепер, візьміть куб з розмірністю 3. Снова збільшіть його в 2 рази. Тепер ви отримаєте 8 ідентичних кубів.

З цими трьома прикладами, ви повинні бачити чітку закономірність. Якщо ви зведете збільшення в міру розмірності. .., ви завжди отримаєте кількість фігур! При записі цього у вигляді формули, ви отримаєте:

e^D = N

Оскільки ми намагаємося обчислити розмірність, ми повинні виразити D за допомогою цього рівняння. Якщо ви знайомі з логарифмами, ви повинні легко дізнатися, що

D = log N / log e

Якщо Ви не знайомі з логарифмами, не хвилюйтеся. Ви можете знайти кнопку "log" на будь-якому науковому калькуляторі.

ЯК МИ МОЖЕМО ЦЕ ВИКОРИСТАТИ

Використовуючи цю формулу, ми можемо обчислити фрактальну розмірність деяких фракталов. Взявши Криву Пеано, ви бачите, що в початковій фігурі 9 ідентичних відрізків (N = 9). Кожний з них 1/3 від початкового відрізка, так що збільшення 3 (е = 3).

Використовуючи формулу, ми знаходимо, що D = log 9 / log 3 = 2. Оскільки кінцева фігура квадрат, це саме те, що ми чекали! Тепер, візьмемо інший фрактал, званий Сніжинка Коха. У ньому, ви можете бачити чотири ідентичних сніжинки (N = 4). Кожна з них 1/3 всієї фігури, так що е = 3.