Урок 4
Введення в поняття розмірності
РОЗМІРНІСТЬ? ...У 300 році до нашої ери Евклід початків його
Книгу I з декількома визначеннями, які включили
наступне:
1. Точка це те, що не має частин.
2. Лінія це довжина без ширини.
3. Поверхня це те, що має тільки довжину і ширину.
У Книзі XI, він додав:
4. Об'ємна фігура це те, що має довжину, ширину, і
висоту
Поняття розмірності підкреслюється в цих визначеннях. Кожний знає, що точка має 0 вимірювань, лінія має розмірність 1, квадрат 2-х розмірний, а куб 3-х розмірний. Така розмірність називається топологической розмірністю. Вона використовувалася протягом тисячоліть, але виявилася неточною при розробці фракталов.
ЩО Є НЕТОЧНИМ?
Розгляньте фрактал званий Крива Пеано. При його формуванні необхідно почати з відрізка і замінити його цією фігурою:
Потім кожний з відрізків замінюється тією ж самою фігурою, і цей процес продовжується. Повторюючи його нескінченно ми отримуємо квадрат.
Тепер, ми стикаємося з проблемою. Фрактал складається з відрізків, так що топологическая розмірність рівна 1. Однако, це неточне, оскільки фігура квадрат з розмірністю 2.
ЩО РОБИТИ?
Ми не можемо використати топологическую розмірність для фракталов, але замість повинні використати те, що називається фрактальною розмірністю. Взагалі, формальне визначення фрактала це фігура, у якої фрактальна розмірність більше топологической розмірності. Дивне те, що фрактальна розмірність не повинна бути цілим числом, а може бути дробовою. Як ви можете бачити з таблиці нижче, складність фігури збільшується з розмірністю. Ви дізнаєтеся, як її можна точно обчислити в наступних трьох уроках.
| F | Кінцеве число більше 0 | ||||
| I | Нескінченне число | ||||
| Розмірність | Кiл. Точок | Довжина | Площа | Об'єм | |
| D = 0 | F |
0 |
0 |
0 |
|
| 0 < D < 1 | I |
0 |
0 |
0 |
|
| D = 1 | I |
F |
0 |
0 |
|
| 1 < D < 2 | I |
I |
0 |
0 |
|
| D = 2 | I |
I |
F |
0 |
|
| 2 < D < 3 | I |
I |
I |
0 |
|
| D = 3 | I |
I |
I |
F |
|
|
|
