Урок 13   

Хаос і фрактали

x' = bx (1 - x).

    Спробуємо виконувати итерации цієї формули для різних значень b. Ми почнемо з будь-якого числа між 0 і 1, наприклад 0.234. Для b=1.5 ми набуваємо наступних значень:

0.234, 0.269, 0.295, 0.312, 0.322, 0.327, 0.330, 0.332, 0.333, 0.333, 0.333, ...

Через деякий час, число залишається на одному місці, званому точкою рівноваги. Тепер спробуємо b=3.2:

0.234, 0.574, 0.783, 0.544, 0.794, 0.524, 0.798, 0.516, 0.799, 0.513, 0.799, 0.513, ...

Тепер, через деякий час, число починає стрибати між двома значеннями. Для b=3.45 ми знаходимо, що у циклу числа 4 різних значення, а для b=3.54 ми знаходимо 8 чисел. По мірі збільшення b, розмір циклу подвоюється. Це називається бифуркацией. Тепер пробуйте b=4. Ви знайдете, що число ні на якому циклі не зупиняється. Це явище називається хаосом. Дуже цікава схема може бути зроблена, вказуючи числа, на яких значення системи зупиняється при різних значеннях b. То що ми отримуємо відома схема роздвоєння:

Тепер спробуйте збільшити схему. ..

Це - фрактал!!! Дійсно, схема містить маленькі версії самій себе на всіх рівнях збільшення. Ми створили фрактал з дуже простої формули. Це показує основне відношення фракталов до хаосу. Дивно, чи не так?