Урок 5   

Метод подобия

Один из способов вычисления фрактальной размерности использует само-подобие. Например, возьмите отрезок с размерностью 1. Если вы рассмотрите его с увеличением в 2 раза, вы увидете 2 идентичных отрезка. Давайте использовать переменную D для размерности, e для увеличения, и N для количества идентичных фигур.

Теперь возьмем квадрат и треугольник с размерностью 2. С увеличением 2, вы получите 4 идентичные фигуры в обоих из них.

Теперь, возьмите куб с размерностью 3. Снова увеличьте его в 2 раза. Теперь вы получите 8 идентичных кубов.

С этими тремя примерами, вы должны видеть четкую закономерность. Если вы возведете увеличение в степень размерности ..., вы всегда получите количество фигур! При записи этого в виде формулы, вы получите:

e^D = N

Так как мы пытаемся вычислить размерность, мы должны выразить D с помощью этого уравнения. Если вы знакомы с логарифмами, вы должны легко узнать, что

D = log N / log e

Если Вы не знакомы с логарифмами, не волнуйтесь. Вы можете найти кнопку "log" на любом научном калькуляторе.

КАК МЫ МОЖЕМ ЭТО ИСПОЛЬЗОВАТЬ

Используя эту формулу, мы можем вычислить фрактальную размерность некоторых фракталов. Взяв Кривую Пеано, вы видите, что в начальной фигуре 9 идентичных отрезков (N = 9). Каждый из них - 1/3 от начального отрезка, так что увеличение - 3 (e = 3).

Используя формулу, мы находим, что D = log 9 / log 3 = 2. Так как конечная фигура - квадрат, это именно то, что мы ожидали! Теперь, возьмем другой фрактал, называемый Снежинка Коха. В нем, вы можете видеть четыре идентичных снежинки (N = 4). Каждая из них - 1/3 всей фигуры, так что e = 3.