Урок 4   

Введение в понятие размерности

РАЗМЕРНОСТЬ? ...

В 300 году до нашей эры Эвклид начал его Книгу I с несколькими определениями, которые включили следующее:
1. Точка - это то, что не имеет частей.
2. Линия - это длина без ширины.
3. Поверхность - это то, что имеет только длину и ширину.
В Книге XI, он добавил:
4. Объемная фигура - это то, что имеет длину, ширину, и высоту

Понятие размерности подчеркивается в этих определениях. Каждый знает, что точка имеет 0 измерений, линия имеет размерность 1, квадрат 2-х размерный, а куб 3-х размерный. Такая размерность называется топологической размерностью. Она использовалась в течение тысячелетий, но оказалась неточной при разработке фракталов.

ЧТО ЯВЛЯЕТСЯ НЕТОЧНЫМ?

Рассмотрите фрактал называемый Кривая Пеано. При его формировании необходимо начать с отрезка и заменить его этой фигурой:

Затем каждый из отрезков заменяется той же самой фигурой, и этот процесс продолжается. Повторяя его бесконечно мы получаем квадрат.

Теперь, мы сталкиваемся с проблемой. Фрактал состоит из отрезков, так что топологическая размерность равна 1. Однако, это неточно, так как фигура - квадрат с размерностью 2

ЧТО ДЕЛАТЬ?

Мы не можем использовать топологическую размерность для фракталов, но взамен должны использовать то, что называется фрактальной размерностью. Вообще, формальное определение фрактала - это фигура, у которой фрактальная размерность больше топологической размерности. Удивительно то, что фрактальная размерность не должна быть целым числом, а может быть дробной. Как вы можете видеть из таблицы ниже, сложность фигуры увеличивается с размерностью. Вы узнаете, как ее можно точно вычислить в следующих трех уроках.

F Конечное число больше 0
I Бесконечное число

Размерность

Кол. Точек

Длина

Площадь

Объем
D = 0

F

0

0

0
0 < D < 1

I

0

0

0
D = 1

I

F

0

0
1 < D < 2

I

I

0

0
D = 2

I

I

F

0
2 < D < 3

I

I

I

0
D = 3

I

I

I

F

 

prev

forward