Урок 13   

Хаос и фракталы

x' = bx (1 - x).

    Попробуем выполнять итерации этой формулы для различных значений b. Мы начнем с любого числа между 0 и 1, например 0.234. Для b=1.5 мы получаем следующие значения:

0.234, 0.269, 0.295, 0.312, 0.322, 0.327, 0.330, 0.332, 0.333, 0.333, 0.333, ...

Через некоторое время, число остается на одном месте, называемом точкой равновесия. Теперь попробуем b=3.2:

0.234, 0.574, 0.783, 0.544, 0.794, 0.524, 0.798, 0.516, 0.799, 0.513, 0.799, 0.513, ...

Теперь, через некоторое время, число начинает прыгать между двумя значениями. Для b=3.45 мы находим, что у цикла числа 4 различных значения, а для b=3.54 мы находим 8 чисел. По мере увеличения b, размер цикла удваивается. Это называется бифуркацией. Теперь пробуйте b=4. Вы найдете, что число ни на каком цикле не останавливается. Это явление называется хаосом. Очень интересная схема может быть сделана, указывая числа, на которых значение системы останавливается при различных значениях b. То что мы получаем - известная схема раздвоения:

Теперь попробуйте увеличить схему ...

Это - фрактал!!! Действительно, схема содержит маленькие версии самой себя на всех уровнях увеличения. Мы создали фрактал из очень простой формулы. Это показывает основное отношение фракталов к хаосу. Удивительно, не так ли?