◆비유클리드 기하학
유클리드의 제5공준인 평행선 공준(「직선 밖의 한 점에서 이 점을 지나 주어진 직선과 만나지 않는 직선을 꼭 한 개 그을 수 있다」)과 삼각형의 세 내각의 합이 180°라는 사실은 동치이다.
이 평행선 공준은 너무 복잡하여 마치 정리처럼 보인다. 그래서 옛날부터 증명이 시도되었으나, 만족스러운 증명은 나타나지 않았다. 마침내 입장을 바꾸어 이 공준을 부정하였을때의 모순점을 찾아내는 간접증명법을 써 보았더니, 그 결과는 엉뚱하게도 모순이 일어나기는 커녕 이전과는 다른 새로운 명제(=정리)가 쏟아져 나왔다. 그리하여 이것들을 하나로 엮으면 유클리드 기하학과는 또 다른 새로운 기하학의 체계가 이루어진다는 것을 알아냈다.
○사케리(Girolamo Saccheri, 1667-1733): 사케리는 자신의 예각가설, 직각가설, 둔각가설이 모순에 이른다는 것을 보이려 했으나, 모순을 찾아낼 수 없었음을 인정했기 때문에, 오늘날 논란의 여지없이 비유클리드 기하학의 발견자로 인정받을 수 있었다.
○로바체프스키(Nicolai Ivanovitch Lobachesky,1793-1856): 로바체프스키와 보야이(Janos Bolyai,1802-1860)는 평행선 공준이 정리가 아니라 공리임을 밝힘. 평행선 공준을 「직선밖의 한 점에서 이 점을 지나 주어진 직선과 만나지 않는 직선을 무수히 많이 그을 수 있다」로 바꾸어서 모순이 없는 새로운 기하학을 전개했다.
○리만(Georg Friedrich Bernhard Riemann,1826-1866):평행선 공준을 「직선 밖의 한 점에서 이 점을 지나 주어진 직선과 만나지 않는 직선은 없다」로 변형하고 모순없는 기하학을 전개했다.
리만의 수학은 엄밀성, 추상적 일반화의 특성을 지니고 있으며 기하학과 공간의 다양화를 가져왔다.
○클라인(Felix Klein, 1849-1925, 독일) : 1871년 유클리드 기하학과 비유클리드 기하학을 분류하였다.
