오리엔트 수학 : 실용적인 산술과 측량

Ⅴ. 17세기 영국수학 : 미적분학의 영웅시대

▶17세기 수학의 특징	▶사영기하학의 발달
▶영국의 수학	▶활률론의 시초
▶근대수학의 여명	▶해석기하학의 출현
○ 로그의 발견	▶미적분학의 발달
○ 해리엇과오트레드	▶17세기의 주요 업적 요약
○ 갈릴레오와 케플러
○ 카발리에리의 불가분량법

◆17세기 수학의 특징

유럽은 17세기에 접어들면서 철학, 천문학, 물리학 등의 발전과 더불어 근대, 그리고 현대에 이어지는 이른바 '과학혁명의 시대'에 돌입하게 된다.
이 세기에는 과학혁명기다운 눈부신 발견과 창의가 차례로 쏟아져 나왔다. 케플러, 네이피어, 페르마를 비록하여 데카르트, 파스칼, 뉴턴, 라이프니츠 등이 새로운 분야를 개척하였다.
이 들은 예외없이 물리학·천문학·철학 등의 여러 분야까지 점하여 연구한 천재들이였으며, 이런 면에서 후대의 수학자들과는 다시 그 면목을 달리하고 있다. 그들의 연구나 창의적 발견에도 이 특색이 잘 나타나 있다. <방법론서설>을 지은 철학자 데카르트는 해석기하학의 창시자로서 불후의 이름을 남기고있다. 기하학을 대수학과 결부시켜서 대수학적 방법을 발견하였다. 이것은 라이프니츠의 미적분 발견에 영향을 끼치고 있다고 보고 있다.
뉴턴과 라이프니츠는 각각 독립적으로 미적분학을 창시하여 근대해석학의 발단을 열었다. 수백년 동안 진전이 없었던 수학이 급속히 진보하여 기하학·대수학의 세계에서 해석학으로 비약하여 물리학에도 큰 영향을 끼쳤다.
뉴턴은 1671년에 미적분학을 체계화하였다. 우주의 중력의 법칙의 발견, 빛의 입자설등 찬란한 업적을 남겼다. <프린키피아, Philosophiae naturalis Principia mathematica>는 1687년에 간행되었다.
후에 라이프니츠와 뉴턴은 미적분학의 창설을 둘러싸고 많은 논쟁이 있었으나, 결국 양자는 각각 독립으로 그 업적을 이루었다는 것이 해명되었다. 라이프니츠는 수학의 기호화에도 큰 공적을 남겼다. 현재의 미적분학의 기호는 그에 힘입은 바가 크다. 법률학, 철학에도 큰 업적을 남겼다.

◆영국의 수학

이 시대의 영국 수학을 대표하는 수학자는 네이피어와 브리그스이다. 수치계산에 관한 이 두사람의 업적이야말로 영국적인 사고를 무엇보다도 잘 대변하고있다.
영국에서는 수학자라면 거의 예외 없이 대학교였지만 17세기의 중반쯤 까지는 아직도 학자는 대학 바깥에서 활약하였다. 대학은 신학의 권위를 유지하기 위한 곳이었고, 학술의 교류는 살롱(salon, 상류층 저택의 사교장) 중심이었으며, 학술발표는 서신에 의존하였다.
월리스(John Wallis, 1616~1703)는 카발리에리, 파스칼의 방법을 발전시켜 직관적으로 구했던 기하학적인 구적법을 수식을 써서 나타내었다. 또한 1649년에 옥스포드의 기하학 교수가 되어 저서<무한의 수론,1656>에서 무한의 개념을 해석적으로 다루었다. 이것이 뉴턴에게 영향을 주어 미적분의 단서를 제공하게된다. 윌리스는 처음으로 무한대를 기호화(∞)하여 무한을 수학의 대상으로 삼았다.
17세기의 수학적 활동이 이탈리아에서 프랑스, 영국 등 북방으로 옮겨가게 된 주된 이유는 북유럽의 보다 유리한 정치상황과 또 그곳의 난방, 조명 등의 발달로 긴 겨울의 추위와 어둠을 극복할 수 있었기 때문이다.

◆ 근대수학의 여명

○ 로그의 발견 : 망원경의 발명에 천문학, 항해술, 삼각법은 급속히 발달하였지만, 동시에 방대하고도 복잡한 천문학상의 계산을 하기 위해서는 불가불 새로운 계산 기술이 나와야만 하였다. 이것이 바로 로그 발명의 배경이다. 계산법의 발전이 "천문학자의 수고를 덜어줌으로써 그들의 수명을 두 배로 늘렸다"고 한 라플라스의 말은 오히려 과소평가인 셈이다. 실로 인도-아라비아식 기수법과 로그, 소수야말로 근대에 있어서 계산의 기적적인 힘을 낳은 3대 발명이었고, 17세기의 '(과학의)영웅시대'를 떠받친 주춧돌의 구실을 하였다.
로그의 개념은 스티펠(Michael Stifel, 1486~1567)의 책에서 처음 선을보인다. 이 책에서 그는 χ와 $2$ ^χ의 관계를

                   χ···-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6···

                    $2$ ^χ···1/8,1/4,1/2,1,2,4,8,16,64···

이라는 형태로 나타내었다. 여기서 각각 대응하는 수의 윗줄의 덧셈은 아랫줄의 곱셈에 대응한다. 즉, 현재의 로그 개념 바로 그것이다. 이 로그의 개념을 쓰면, 크고 복잡한 곱셈 문제를 간단한 덧셈 문제로 바꿀 수 있다.
로그의 이론은 스코틀랜드의 수학자 네이피어에 의해서 본격적으로 연구되었다. 그는 <놀라운 로그법칙의 기술>에서 처음으로 이 계산법에 관해 설명하였으며, 그가 죽은지 2년 후에 나온 <놀라운 로그법칙의 집대성>에는 로그표의 계산법이 실려 있다.
로그(logarithm, '비의 수'라는 뜻)와 진수(numerus)라는 낱말은 네이피어가 만들어낸 용어이다. 그러나 실제로 셈에 이용할 수 있는 편리한 로그표는 네이피어의 친구 브리그즈(HenrBriggl,1561~1631)에의해서 만들어진 것이다. 이 때 비로소 10을 밑으로 하는 상용로그가 만들어졌다. 미적분학에서 배우는 자연로그 즉 네이피어의 수e를 사용하는 로그표는 이보다 앞서 존 스페이델(John Speidell)에의해 1619년에 공표되었다. 브리그즈의 저서<로그표,1624>는 10만까지의 수에 관해서 14단위의 로그표를 작성한 것이다.
중세 말기에 채용되기 시작한 아라비아식 기수법, 이에 이은 소수 표시법, 그리고 로그 계산 등은 유럽 수학을 고대의 전통적인 계산법으로부터 완전히 탈피시켰으며, 그 결과로 수학은 근세 사회에 알맞는 체계를 갖추기에 이르렀다.

○ 해리엇과 오트레드 : 해리엇은 버에트의 지수 표기법을 개선하여 aa를 $a$ ²으로 aaa를 $a$ ³등으로 나타내었다. 또한 "···보다 크다,···보다 작다" 는 의미의 기호 >와 <를 처음 사용하였는데, 이 기호를 사람들이 즉시 받아들이지는 않았다.
오트레드는 가장 영향력 있는 17세기 영국의 수학 저술가 중의 한 사람이었다. 그는영국에 수학지식을 전파하는데 많은 역할을 했으며 유명한 책 <수학의 열쇠, Clavis mathematicae>를 통하여 곱셈기호[x]와 비에서 사용되는 4점기호 [::] 그리고 두 수 사이의 차를 나타내는 데 자주사용되는 기호 [~]를 제시하였고 1622년경 직선 로그자를 발명하였다.

○갈릴레오와 케플러 : 17세기 초에 수학에 지대하게 공헌했던 두 명의 뛰어난 천문학자가 있었다. 한 사람은 이탈리아인인 갈릴레오 갈릴레이 (Galileo Galilei)이고 다른 한 사람은 독일인 요한 케플러(Johann Kepler)이다.
갈릴레오는 중세와 근대의 분수령에 위치한 과학자이자 수학자이다. 아리스토텔레스가 존재론적, 형이상학적 입장에 있었던 반면에 갈릴레오는 현상론적 입장에 있었다. 현상은 수학적(=기하학적) 개념에 의해 엮어져 있기 때문에 현상주의적 진리성은 수학적 법칙의 진리성임을 주장하였다.
케플러는 행성의 운동에 관한 세 가지 법칙을 발견하였다. 이 행성운동의 법칙은 천문학과 수학의 역사에서 획기적인 사건으로 기록되고 있다. 왜냐하면 뉴턴이 그것을 증명하려고 노력하던 중에 현대 천체역학을 창조했기 때문이다. 케플러는 원추 곡선은 원→타원→포물선→쌍곡선→직선으로 5가지 곡선 형태를 연속적으로 취해간다는 연속운동의 개념을 가졌고 원은 폭이 좁은 수많은 부채꼴들로 되어 있고, 이들은 모두 이등변 삼각형으로 간주할 수 있으며, 이들 삼각 형은 높이가 동일하고 (원의 반지름) 밑변의 합은 원둘레와 같다는 무한개념을 생각하였다.

○카발리에리의 불가분량법 : 카발리에리는 1635년에 미적분법의 전신이라고 할수 있는 불가분량법(Method of indivisibles)을 소개한 논문 <불가분량의 기하학, Geometria indivisibilibus>을 발표했다. 이것은 무한소에 관한 논문으로 면적은 불가분량인 선분으로, 입체는 불가분량인 면적으로 이루어져 있으므로,불가분량은 본질적으로 정적분 개념의 기초가 되었다.

◆ 사영기하학의 발달

르네상스의 미술과 건축을 배경으로 하여 사영기하학이라는 유클리드 기하와는 다른 실용기하가 등장하였다.
사영기하학은 사영이라는 기본 작도에 의하여 그려지는 도형에 관하여 길이나 각의 크기등의 계랑적인 요소를 제외하고, 변하지 않는 성질을 연구하는 기하학이다. 예를 들어 원은 사영에 의해 원추곡선 (타원, 포물선, 쌍곡선)으로 변하기 때문에 이 기하학에서는 이들 곡선을 구별할 필요가 없다.
"만일 한 육각형이 원추곡선 안에 내접한다면 세쌍의 대변의 교점들은 한 직선위에 있고 또 그 역도 성립한다"는 파스칼의 '신비한 육각형'정리가 유명하다. 데자르그는 원추곡선에 관한 책을 써서 17세기 종합 기하학의 가장 독창적인 기여자가 되었다.
그러나 사영기하학은 난해하고 종래의 개념이나 방법에 비해 이질적이었기 때문에 시대 사조에 맞지 않는 조생아였기 때문에 그후 150년간이나 빛을 보지 못하다가 몽주의 <화법기하학, 1770>을 통하여 퐁슬레에 의하여 근대 사영기하학으로 체계화 되었다.

◆ 확률론의 시초

확률론의 발단으로 여겨질 수 있는 한 문제는 소위 점수문제 (problem of points)라는 것이 일반적인 견해이다. 이 문제는, 어느 게임에서 기술이 비슷한 두 사람 사이에 우연히 게임이 중단되었을 때의 이들 두 사람의 점수와 게임을 이기는 데 필요한 점수를 알고 있을때, 상금의 분배를 결정하는 문제이다.
도박을 할 때, 건 돈을 어떻게 분배할 것인가의 문제는 일찍부터 수학자들의 관심을 끌었지만 도박사인 드 메레(Chevaliet de Mere)가 1654년에 그 문제를 파스칼에게 문의하기 전까기는 실제적인 발전이 없었다. 파스칼은 그 문제에 흥미를 갖게 되었고 그것을 페르마에게 편지했다. 두 사람은 서로 다른 방법으로 그 문제를 해결하였다. 따라서 파스칼과 페르마는 서신왕래를 통하여 확률론의 기초를 확립하였다.

연습문제

◆ 해석기하학의 출현

데자르그와 파스칼이 사영기하학이란 새로운 분야를 개척하고 있는 동안, 데카르트와 페르마는 근대 해석기하학의 개념을 정리하고 있었다. 사영기하학이 기하학의 한 분야인 반면에 해석기하학은 기하학의 한 방법이다.
평면에 적용한 이 개념의 본질은 평면에 있는 점과 실수의 순서쌍과의 대응관계를 만드는 것이다. 그렇게 함으로써 평면위의 각 곡선에 대해서 방정식 f(x,y)=0 이 대응되고 역으로 각 방정식에 평면 위의 곡선 또는 점들의 집합이 대응된다. 해석 기하학은 좌표를 도입함으로써 대수학과 기하학을 결합시킨 것으로 그 본질은 기하학적인 고찰을 그에 대응하는 대수적인 고찰로 바꾸어 놓은 데 있다.
프랑스 수학자 데카르트와 페르마는 해석기하학을 창시함으로써 17세기의 수학에 결정적인 공헌을 하였다. 데카르트는 대부분 자취로 시작하여 그것의 방정식을 발견한 반면, 페르마는 방정식으로 시작하여 그것의 자취를 연구하였다. 다시 말해 데카르트의 해석기하학은 '대수적 기하학'인데 반해, 페르마는 그리스 이래의 전통에 집착하여 원리적으로는 해석 기하학을 파악하면서도 그 일반화에는 실패한 '기하적 대수학'이라 할 수 있다.
유클리드 기하학이 삼각형을 기하학적 도형의 기본으로 삼은 정적인 기하학인데 반해 해석기하학은 선분을 기하학적 도형의 기본으로 삼은 동적인 기하학이다.
해석기하학은 변수 x에 대한 함수 y, 즉 y가 x의 변화에 따른 작용의 총체로 간주되며, 이 y의 변동 전체가 도형을 형성한다. 점을 움직임으로써 도형을 형성한다는 역동적인 사고는 정적인 원리에 충실하였던 그리스 수학에서는 불가능하였다.

◆ 미적분학의 발달

의심할 바 없이 17세기의 가장 주목할 만한 수학적 업적은 세기말로 접어들면서 뉴턴과 라이프니츠가 만든 미적분학이다. 이 발명으로 창조적인 수학은 고등 수준으로 올라서고 기초수학의 역사는 본질적으로 마감됐다.
고등학교나 대학 교양수학에서 미분을 먼저 시작하고 다음에 적분을 공부하는 관습적인 순서와는 반대로, 역사적으로는 적분학의 착상이 미분학보다 먼저 발달되었다.
적분학의 착상은 어떤 면적이나 체적, 호의 길이 등을 구하는 것과 관련한 합의 과정에서 처음 떠올랐으며, 그보다 약간 늦게 미분학은 곡선의 접선에 관한 문제와 함수의 최대 최소에 관한 문제로 인하여 창조되었다. 그러고 나서 적분과 미분이 서로 역연산의 관계에 있다는 사실이 밝혀졌다.
미적분학의 발견에 대한 뉴턴-라이프니츠 논쟁은 서로 독립적으로 발전 시켰다는 의견으로 귀결되었다. 미적분학의 발견은 뉴턴이 먼저, 결과의 출시는 라이프니츠가 먼저하였다.
영국의 월리스와 배로는 뉴턴의 미적분학에 영향을 미쳤는데, 미적분학의 발전에 대한 월리스의 주요 공헌이 적분론에 있는 반면에 배로의 가장 중요한 공헌은 미분론에 관련된 것이다.
뉴턴에 의하여 1671년 오늘날 미분학으로 알려진 <유율법,Method of Fluxions> 이 쓰여졌다. 이 논문에서 뉴턴은 곡선을 점의 연속적인 운동에 의하여 생성되는 자취로 고찰하였다.
이 개념에서 변량(fluent)은 변하는 양, 유율(fluxion)은 변량의 변화 비율, 주유율(pricipal fluxion)은 어떤 변량의 일정한 증가율, 모멘트(moment)는 하나의 변량이 시간이 0인 무한히 작은 구간에서 증가하는 양으로 고찰되었다. 변량으로 부터 유율을 구하는 것은 미분이며 유율로부터 변량을 구하는 것은 적분이다.
뉴턴은 유율법을 수없이 그리고 놀랄 만큼 응용하여 극대와 극소, 곡선의 접선, 곡선의곡률, 변곡점, 곡선의 요철 등을 결정하고, 그의 이론을 수많은 구적법과 곡선의 길이를 구하는 문제에 적용하였다.
미적분법의 발명에서 뉴턴의 경쟁자였던 라이프니츠는 1673년과 1676년 사이에 미적분학을 고안하였다. 그가 카발리에리의 불가분량의 합을 나타내는 라틴어 summa (합)의 첫 문자를 딴 S를 길게 늘인 문자로서 현대 적분 기호인 ∫를 처음 사용하였다. 미분학에 관한 최초 논문은 1684년이 되어서야 발간되었다. 이 논문에서 그는 dx를 임의의 유한 구간으로 소개하고 나서 dy를 다음과 같은 비에 의하여 정의하였다.

dy : dx = y : 접선영

라이프니츠가 사용한 수학의 용어나 기호는 세련되고 단순하면서도 사물의 본질을 잘 나타내고 있어 쉽게 이해할 수 있으며 다루는 방법도 간편하다. 현재 사용하고 있는 미적분학의 용어와 기호는 대부분 라이프니츠로부터 이어받은 것이다.

◆17세기의 주요 업적 요약

17세기는 수학사에서 가장 빛나는 시기였다. 이 시기 초반에 네이피어는 로그를 고안하여 발표하였고 해리엇과 오트레드는 대수의 기호화와 체계화에 기여하였으며, 갈릴레오는 역학의 기초를 세웠고 케플러는 행성의 운동법칙을 발표하였다. 이 세기 후반에 데자르그와 파스칼은 순수기하학의 새로운 장을 열었고 데카르트는 해석기하학을 창시하였으며, 페르마는 현대 정수론의 기초를 확립하고 호이겐스는 확률론과 그 밖의 여러 분야에서 두드러진 업적을 남겼다. 이 세기 말로 접어들어 뉴턴과 라이프니츠는 많은 수학자들의 기초 작업 위에서 하나의 신기원을 이루는 창조물인 미적분학을 만들었다. 이와 같이 수학 연구의 새롭고 다양한 분야들이 17세기부터 시작되었다.