Ⅳ.16세기의 이탈리아 수학 : 르네상스의 상업수학

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15·16세기 경에는 르네상스의 부흥기를 겪으면서도 수학의 면에서는 그리스 시대나, 17C 이후에 보여지는 현저한 발전은 없었다. 다만,이탈리아에의 3차, 4차 방정식의 해법이라든가, 프랑스에서의 대수학을 계통적으로 기호화한 점이 주목될 뿐이다. 르네상스 설령 수학의 체계 자체에는 획기적인 변화를 주지않았다 하더라도 갖가지 풍요로운 소재로 이 학문에 활기를 불어 넣었다. 그러나, 르네상스 수학의 가장 중요한 의의는 그리스의 수학과 인도·아라비아의 수학이 통합됨으로써 여기에서 유럽수학의 전통이 굳혀지고, 이것을 발판으로 하여 근대수학을 출발시켰다는 점에서 찾아야 한다.
16세기의 수학적 성취를 요약하면 다음과 같다. 기호대수가 훌륭하게 시작되었고 인도-아라비아 숫자 계산이 표준화 되었으며 소수가 개발되었고 3차 및 4차방정식이 풀렸고 방정식론이 일반적으로 진보되었으며 음수가 받아들여졌고 삼각법이 완성되고 체계화되어 몇 가지 훌륭한 표가 만들어졌다. 그리하여 다음세기의 놀라운 진보를 위한 무대가 만들어졌던 것이다.

◆기호의 정비

르네상스 시대의 대수는 상업적인 필요와 대수 기호의 정비로 시작되었다고 할 수 있다.

○ 플러스(+) 와 마이너스 (-)
이들 기호는 계산술의 아버지라고 불리우는 독일의 위드만(John Widmann)이 1489년에 라이프치히에서발표했던 산수책에 처음으로 나타난다. 당시 과부족의 의미로 썼지만, 점차 가법과 감법을 의미하는 기호로 쓰게 된다. '플러스'라는 표현은 이 책에서 쓰고 있지 않지만 '마이너스' 라는 말은 사용되고 있다.
'+'기호는 라틴어에서 '또는'이라는 의미를 갖는 et를 빨리 쓴 형태에서 비롯된 것이다. 그러나 '-'기호의 기원은 알 수 없다.

○ 근호(√)
빈 대학의 교수였던 슈라이베르(Heinrich Schreiber)는 1521년에 발표했던 책에서 +,-를 덧셈과 뺄셈의 의미로 사용하였다. 그의 제자 루돌프(Christoff Rudolff)는 1525년에 발행된 그의 대수학 책에서 +,-외에도 근호 √를 쓰고 있다. 근호√는 처음 에는 단순히 라고 썼다. 이것은 근을 의미하는 root의 머리 글자 r로부터 왔다는 이야기도 있다.

○ 등호(=)
이 기호는 영어로 쓰여진 최초의 대수학책이라고 알려진 레코드(Robert Recorde, 약 1510-1558)의 <지혜의 숯돌, whestone of wittle, 1557> 에 처음으로 보인다. 그는 이것을 등호로서 채용하는 이유를 2개의 평행선(=)만큼 같은 것은 없기 때문이라고 말하고 있다.

○ 나눗셈 기호(÷)
스위스 수학자 란(Johann Heinrich Rahn)이 1659년에 츄리히에서 발행했던 <대수학, Teutsche Algebra>에서 처음으로 사용했다.

○ 소수 기호
처음으로 소수 기호를 도입한 사람은 기술자 출신의 스테빈(Simon Stevin, 1546~1620) 이다.

○ 부등호(>,<) 이것은 영국의 수학자 해리엇 (Thomas Harriot, 1560~1621) 가 죽은지 10년 후에 발간된 책 에 보인다. ≥와≤은 그로부터 1세기가 지나 부게(Pierre Bouguer)에 의해 쓰였다.

○ 곱셈 기호(×) 와 차의 기호(~)
이것은 영국의 수학자 오트레드(William Oughtred, 1574~1660) 의 책 <수학의 열쇠, 1631)에 보인다.

○ 문자 기호
프랑스의 수학자 비에트(Francois Viete, 1540~1603)는 기지량과 미지량을 구별하기 위해 기지량에 대해서는 b,c,d,··· 등의 자음 문자를 사용하고, 미지량에 대해서는 a,e,i,o,u 등의 모음 문자를 썼다.
지금처럼 기지량은 a,b,c,d,··· 등 알파벳 앞쪽의 문자로 나타내고 미지량에 대해서는 x,y,z라는 알파벳 뒤쪽의 문자로 쓰게 된 것은 데카르트에서 시작되었다. 이처럼 수학상의 기호가 쏟아져 나온 것은 인쇄술의 발달과 깊은 연관이 있었음을 잊어서는 안된다.

◆ 3차 및 4차 방정식

16세기의 가장 극적인 수학적 성취는 아마도 이탈리아 수학자들의 3차 및 4차 방정식 의 대수적 해법의 발견일 것이다. 이 발견과 관련된 이야기는 매우 다채로운데, 벤베누토 젤리니가 쓴 것이 제일 그럴 듯하다. 간단히 얘기하면 다음과 같다. 1515년 경에 볼로냐(Bologna) 대학의 수학교수였던 페로(Ferro, 1465~1526)가 $x$ ³ + mx = m 방정식을 대수적으로는 풀었으나, 이는 아마도 그 이전의 아라비아 원전들 위에 기초 했을 것으로 추측된다. 그는 자신의 결과를 발표하지 않은 채 제자인 피어(Fior)에게 그 비밀을 알려 주었다.
한편 1535년경에 타르탈리아(Tartaglia)가 $x$ ³ + p $x$ ² = n 꼴의 3차 방정식의 대수적 해법을 발견했다고 주장하였다. 그러나 피어는 그의 주장이 괜한 허풍이라고 생각하면서도 타르탈리아에게 3차방정식을 푸는 공개시합을 하고자 제안했다. 타르탈리아는 전력을 다하여 연구한 끝에 시합이 열리기 며칠 전에 2차항이 없는 3차 방정식의 대수적 해법도 발견하였다. 시합에서는 두 종류의 3차 방정식 문제가 출제 되었고 피어는 그 중 한 종류 만 풀었으나 타르탈리아는 문제를 모두 풀어 완전히 승리 하였다.
그 후에 카르다노(Cardano)가 타르탈리아에게 간언하여 비밀을 꼭 지키겠다는 엄숙한 맹세 아래 3차 방정식을 푸는 중요한 방법을 얻어 내었다. 그러나 1545년에 카르다노는 대수에 관한 탁월한 라틴어판 논문 <위대한 술법, Arsmagma> 을 뉴렘베르그에서 출간 하면서 타르탈리아와의 약속을 저버리고 3차 방정식의 타르탈리아 해법을 실어 버렸다. 타르탈리아는 이에 격분하여 격렬한 항의를 하였지만 카르다노의 가장 유능한 제자였던 페라리(Ferari)는 카르다노가 제 3자를 통하여 페로의 해법에 관한 정보를 얻었다고 주장하면서 오히려 타르탈리아가 동일한 원전으로부터 해법을 표절했다고 비난했다.
3차방정식이 풀려진 후 오래지 않아 4차방정식의 대수적 해법도 발견되었다. 1540년에 이탈리아 수학자인 코이(Coi)가 카르다노에게 4차방정식을 초래하는 문제를 주었다. 그러나 카르다노는 그 방정식을 풀지 못했지만 제자인 페라리가 문제를 푸는데 성공하여 그의 <위대한 술법>에 이 해법을 싣는 기쁨을 누렸다.

16세기를 대표하는 수학, 즉 대수의 '원산지'는 비유럽 세계인 아라비아였지만 대수가 유럽에서 발전하게 된 이유는 '중세 후기에 있어서의 상업발달의 압도적인 영향 밑에서 계산술과의 쌍둥이로서' 이탈리아 상인이나 은행가들의 실제적인 필요 때문이었다. 천문학이 오랜 동안 수학의 발전에 기여해왔고, 한 때는 '수학자'라는 이름이 천문학자를 의미하기도 했다. 수학에 공헌한 천문학자 중에서 가장 빼어난 인물은 폴란드의 니콜라스 코페르니쿠스 (Nicolas Copernicus. 1473~1543) 였다. 우주에 관한 그의 이론은 삼각법의 개선을 필요로 하는 것이었고 그 자신도 삼각법에 관한 논문을 썼다.