Jeszcze o liczbach kwantowych

JESZCZE O LICZBACH KWANTOWYCH

Rozpatrzmy najpierw dok³adniej magnetyczn± liczbê kwantow±.
Wyobra¼my sobie elektron kr±¿±cy wokó³ j±dra po okre¶lonej orbicie o promieniu r i z czêsto¶ci± niu

. Wtedy uk³ad taki mo¿na traktowaæ jak ko³owy przewodnik z pr±dem, którego natê¿enie jest:

(1)

Kr±¿±cy wokó³ j±dra elektron wytwarza pr±d ko³owy

Obwód ten jest dipolem magnetycznym maj±cym moment magnetyczny - nazywany orbitalnym momentem magnetycznym elektronu:

(2)

gdzie: S =

*r2 , wiêc:

(3)

Moment pêdu takiego elektronu dany jest równaniem:

(4)

A po podstawieniu:

(5)

Wektor orbitalnego momentu magnetycznego elektronu ma identyczny kierunek, ale przeciwny zwrot ni¿ wektor momentu pêdu elektronu. Mo¿emy teraz podzieliæ stronami równanie (3) i (5). Otrzymamy:

(6)

Rozwi±zuj±c równanie Schrodingera otrzymujemy równanie uzale¿niaj±ce moment pêdu od pobocznej liczby kwantowej:

(7)

gdzie:

= h/(2*?).
Podstawiaj±c teraz (7) do (6) mamy:

(8)

Wielko¶æ:

(9)

Wielko¶æ

_B jest nazywana magnetonem Bohra i wynosi 9,27*10-24 J/T. Wielko¶æ t± mo¿na traktowaæ jako kwant momentu magnetycznego.
Je¿eli teraz elektron wchodzi w sk³ad atomu wieloelektronowego znajduje siê w polu magnetycznym innych elektronów (trochê podobnie jakby znajdowa³ siê w zewnêtrznym polu magnetycznym). Pole to ma indukcjê B. Dipol (elektron poruszaj±cy siê po orbicie) ma pewn± energiê potencjaln± zale¿n± od ustawienia orbity w polu magnetycznym. Energia ta dana jest wzorem:

(10)

gdzie:

to k±t miêdzy wektorem natê¿enia B, a orbitalnym momentem magnetycznym.
K±t alfa

, zgodnie z teori± kwantow± mo¿e byæ tylko taki, dla których rzut momentu magnetycznego na kierunek wyznaczony przez wektor B czyli:

(11)

Wykorzystuj±c równanie (8) mamy:

(12)

wynosi:

(13)

gdzie: m_l jest to magnetyczna liczba kwantowa.

Orbitalna liczba kwantowa	Nazwa podpow³oki
0	s
1	p
2	d
3	f
4	g
5	h
6	i

Podstawiaj±c teraz wyra¿enie na

_lZ z (6), uwzglêdniaj±c oczywi¶cie rzut obu wektorów na kierunek wyznaczony przez wektor B i bior±c pod uwagê, i¿ wektory L i

_l maj± przeciwne zwroty oraz podstawiaj±c wyra¿enie na

_B z (9) mamy:

(14)

Widzimy, wiêc, ¿e moment pêdu kr±¿±cego elektronu jest skwantowany.
Omówmy teraz nieco dok³adniej spin elektronu. Z teorii Paula Diraca wynika, ¿e spinowy moment pêdu jest skwantowany:

(15)

gdzie: s - spinowa liczba kwantowa.
Mo¿e ona mieæ tylko jedn± warto¶æ, mianowicie (1/2). Spinowy moment pêdu elektronu przyjmuje wiêc warto¶æ:

(16)

Natomiast spinowy moment magnetyczny elektronu ma zwrot przeciwny ni¿ wektor L_S i jest dany wzorem:

(17)

Po podstawieniu (16) do (17) jest:

(18)

Wykorzystaæ teraz mo¿emy zwi±zek z równania (9) mamy:

(19)

Mo¿emy teraz porównaæ stosunek spinowego momentu magnetycznego do spinowego momentu pêdu ze stosunkiem orbitalnego momentu magnetycznego do orbitalnego momentu pêdu. Mamy bowiem równanie (17) i (6). Okazuje siê, ¿e:

(20)

Mo¿emy teraz rzutowaæ wektor spinowego momentu pêdu na kierunek wektora magnetycznego B. Rzut ten równy jest:

(21)

gdzie:

k±t miêdzy wektorem B, a wektorem L_S.

Warto¶æ L_SZ jest skwantowana i mo¿e wynosiæ jedynie:

(22)

gdzie: m_S jest nazywana spinow± magnetyczn± liczb± kwantow± i mo¿e przyjmowaæ warto¶ci +1/2 lub -1/2.
Je¿eli warto¶æ m_S ma warto¶æ +1/2 to sk³adowa spinu równoleg³a z kierunkiem B jest skierowana zgodnie z tym kierunkiem. Warto¶æ m_S przyjmuje warto¶æ -1/2 gdy spin skierowany jest przeciwnie. Ustalone zosta³o, ¿e, gdy warto¶æ spinowej magnetycznej liczby kwantowej wynosi +1/2 to mówi siê, i¿ skierowany jest on w dó³. Gdy wynosi on -1/2 skierowany jest on w górê. Przeciwnym skierowaniom spinu odpowiada nieco inna energia.

W 1925 roku Wolfgang Pauli (1900-1958) poda³ regu³ê zwan± zakazem Pauliego, zgodnie z któr± w atomie nie mo¿e byæ dwóch elektronów w tym samym stanie. To znaczy, ¿e w atomie nie mo¿e byæ dwóch elektronów i takich samych czterech liczbach kwantowych (n,l,m_l,m_S).