Werner Heisenberg (1901-1976) postanowi³ zmierzyæ siê z tym problemem. Do problemu tego naukowiec podszed³ decyduj±c siê oprzeæ na tym co mo¿na zmierzyæ do¶wiadczalnie, czyli na liniach widmowych. Stworzy³ teoriê zwan± mechanik± macierzow±. Dziêki obliczaniu pewnych skomplikowanych macierzy (pewnych wyra¿eñ matematycznych) mo¿na by³o otrzymaæ te same wyniki co z teorii Bohra i to bez odwo³ywania siê do dziwnych orbit elektronów. Macierze Heisenberga t³umaczy³y nawet wiêcej faktów ni¿ wcze¶niejsza teoria Bohra. Niestety jak to z teoriami opartymi na skomplikowanej matematyce bywa by³a ona bardzo trudna i dlatego niezbyt lubiana przez fizyków.

W 1925 roku 38 letni Erwin Schrodinger (1887-1961) przymierzy³ siê do tego problemu. Zainteresowany falowym opisem elektronu zaproponowanym przez de Broglie'a postanowi³ stworzyæ teoriê, w której opis ten by³by wykorzystany. Stworzy³ równanie, w którym elektron jest po prostu traktowany tak jakby by³ fal±, fal± materii. Równanie to jest nazywane równaniem Schrodingera. - funkcja falowa - opisana przez równanie Schrodingera mówi o wszystkich w³asno¶ciach elektronu, o których wiemy albo które mo¿emy zmierzyæ. jest zmienna w czasie i przestrzeni. Elektrony wed³ug naukowca mia³y byæ po prostu falami materii, a ich postaæ cz±steczkowa, jak twierdzi³ jest po prostu iluzj±. Równanie Schrodingera ( kwadrat funkcji falowej ) opisywa³o gêsto¶æ rozk³adu tej fali materii. W atomie wodoru na przyk³ad fale materii by³y gêste w miejscach gdzie znajdowa³y siê orbity opisane teori± Bohra. Rozwi±zuj±c równanie mo¿na by³o obliczyæ bezpo¶rednio promienie tych orbit.

    Wiêcej, dziêki modelowi zaproponowanemu przez Schrodingera mo¿na by³o obliczaæ wielko¶ci promieni orbit, a tak¿e t³umaczyæ po³o¿enia linii widmowych ró¿nych innych pierwiastków (nie tak jak do tej pory tylko wodoru).
    Równanie Schrodingera dobrze opisuje nie tylko elektrony. Jest ono stosowane tak¿e do opisu innych cz±steczek takich jak protony, neutrony, czy wrêcz ca³e atomy.
    Poza tym teoria Schrodingera jest znacznie prostsza, choæ równowa¿na teorii macierzowej Heisenberga.
    Jednak interpretacja fali Schrodingera by³a b³êdna. Fakty do¶wiadczalne wskazywa³y na to, ¿e nie mo¿e to byæ fala materii. Jak bowiem wyt³umaczyæ nastêpuj±cy obserwowalny fakt:
    Wyobra¼my sobie, ¿e dysponujemy pewn± metalow± siatk±, któr± pod³±czmy do baterii o znanym napiêciu. Je¿eli teraz bêdziemy ostrzeliwaæ t± siatkê elektronami, które maj± energiê wiêksz± ni¿ energia tak skonstruowanej bariery, to powinny j± bez problemu przechodziæ. Je¿eli teraz elektrony maj± energiê ni¿sz± ni¿ energia bariery to nie powinny jej przenikaæ. Wszystkie powinny byæ hamowane i nastêpnie odpychane - tak jakby uleg³y odbiciu. (nasuwa siê tutaj analogia - je¿eli mamy wysoki mur i rzucimy pi³kê wystarczaj±co mocno, przeleci nad nim; je¿eli natomiast rzucimy j± znacznie s³abiej, odbije siê od muru i wyl±duje po stronie rzucaj±cego). Tak powinno byæ. Jednak fakty do¶wiadczalne tego nie potwierdzaj±. Nawet je¶li energia bariery jest wiêksza ni¿ bombarduj±cych j± elektronów, czê¶æ elektronów i tak przejdzie przez barierê (reszta ulegnie odbiciu). Wed³ug równania Schrodingera czê¶æ fali elektronu przechodzi przez barierê, reszta za¶ ulega odbiciu. Ale w takim razie dzia³o by siê co¶ dziwnego z elektronem - czê¶æ przenika³a by, czê¶æ zostawa³a by odbita. Ale nie obserwuje siê przecie¿ czê¶ci elektronów.
    Jak mo¿na wyt³umaczyæ ten fakt?

W 1926 roku Max Born stwierdzi³, ¿e opisany przez Schrodingera kwadrat funkcji falowej (2) opisuje po prostu prawdopodobieñstwo znalezienia siê elektronu w danym miejscu. Funkcja jest zale¿na od czasu i po³o¿enia i je¶li 2 osi±ga du¿± warto¶æ w danym miejscu, równie¿ du¿e jest prawdopodobieñstwo znalezienia siê elektronu w tym miejscu. Natomiast tam gdzie 2 jest ma³e, prawdopodobieñstwo jest równie¿ ma³e. Tam, gdzie warto¶æ 2 wynosi 0 elektron nie mo¿e siê znale¼æ.

            (1)

            (2)