Zjawisko Comptona

ZJAWISKO COMPTONA

Badaj±c promienie X naukowcy zaobserwowali interesuj±cy fakt. Badano efekt rozpraszania promieni na bloku grafitowym. ¬ród³em promieni X by³a lampa rentgenowska z molibdenow± antykatod± (¼ród³o takie daje monochromatyczne promienie X). Wi±zka promieniowania przechodzi³a nastêpnie przez dwie w±skie szczeliny i pada³a na blok grafitowy. Nastêpowa³o rozproszenie. Okaza³o siê, jednak, ¿e rozproszone promienie X maj± dwie ró¿ne d³ugo¶ci fal (do badania widma promieniowania rozproszonego u¿ywano spektrometru rentgenowskiego). Jedna z d³ugo¶ci by³a taka sama jak d³ugo¶æ promieni padaj±cych, a druga by³a wiêksza od pierwotnej d³ugo¶ci fal. Efekt ten wystêpowa³ dla bloków zbudowanych z ró¿nych materia³ów. Inn± ciekaw± cech± zjawiska rozpraszania by³ fakt, i¿ d³ugo¶æ fal rozproszonych zale¿y od k±ta rozpraszania alfa

(patrz rysunek).

Z wyt³umaczeniem tego zjawiska mieli k³opoty naukowcy pocz±tku naszego wieku. Niektórzy twierdzili miêdzy innymi, ¿e rozpraszane promienie nie s± wcale promieniami X, ale jakimi¶ nowym rodzajem promieniowania, które nazywali promieniami J. Dopiero w 1923 roku Arthur Holly Compton (1892-1961) opracowa³ teoriê dobrze t³umacz± obserwowane zjawisko. Za³o¿y³ on ¶mia³o, ¿e fotony promieniowania X maj± pewien pêd, a proces rozpraszania jest to po prostu elastyczne zderzanie fotonów promieniowania z elektronami lub ca³ymi atomami.
Energia fotonu dana jest wzorem: E = h* niu

, gdzie

to czêstotliwo¶æ fotonu. Z drugiej strony wiadomo, ¿e energia cz±stki poruszaj±cej siê, zgodnie ze szczególn± teori± wzglêdno¶ci dana jest wzorem:

(1)

gdzie E₀ - energia spoczynkowa cz±steczki (m*c²), p - pêd cz±steczki.
Jednak fotony maj± przecie¿ masê spoczynkow± równ± 0, wiêc energia spoczynkowa E₀² = 0 i wtedy po obustronnym spierwiastkowaniu mamy:

(2)

Maj±c teraz dwa wzory na energiê fotonu mo¿emy policzyæ jego pêd:

(3)

D³ugo¶æ fali jest równa:

(4)

Wiêc ostatecznie zapisujemy:

(5)

Rozpatrzmy najpierw zderzenia fotonów z elektronami.

Efekt rozpraszania fotonu promieniowania X na spoczywaj±cym elektronie

Przy zderzeniu pêd uk³adu musi byæ zachowany. Rozpatrzmy pêd na dwóch kierunkach: Prawo zachowania na osi poziomej:

(6)

Prawo zachowania na osi pionowej:

(7)

gdzie

- k±t rozproszenia elektronu, alfa

- k±t rozproszenia fotonu promieniowania X, p₀ - pêd fotonu przed zderzeniem, p_S - pêd fotonu rozproszonego, p_e - pêd elektronu rozproszonego.
Przy zderzeniu energia uk³adu musi byæ zachowana:

(8)

gdzie E₀ - energia padaj±cego fotonu (h* niu

₀), m₀*c² - energia spoczynkowa elektronu, E_S - energia fotonu rozproszonego (h* niu

_S), (m₀*c² + E_k) - ca³kowita energia elektronu rozproszonego. Mo¿emy nastêpnie zapisaæ:

(9)

Nastêpnie mo¿emy zapisaæ ze wzoru na zachowanie pêdu na osi poziomej (6):

(10)

Podnosimy teraz obie strony tego równania do kwadratu:

p0^2 - 2pS* p0*cos(alfa) + pS^2*(cos (alfa) )^2 = pe^2*(cos (beta))^2

(11)

Do kwadratu podnosimy tak¿e obie strony równania opisuj±cego zasadê zachowania pêdu na osi pionowej (7):

pS^2*(sin (alfa))^2 = pe^2*(sin(beta))^2

(12)

Mo¿emy teraz dodaæ te dwa równania do siebie, skorzystaæ ze wzoru na jedynkê trygonometryczn± i otrzymujemy:

(13)

Zapisujemy teraz energiê elektronu na dwa ró¿ne sposoby:

(14)

Energia spoczynkowa elektronu plus energia kinetyczna elektronu, oraz:

(15)

(patrz strona "SZCZEGÓLNA TEORIA WZGLÊDNO¦CI")
Eliminuj±c teraz z tych dwóch równañ (14) i (15) E otrzymujemy:

(16)

Z drugiej strony wiemy ju¿ (9), ¿e:

(9)

Oraz h*

₀ = p₀*c , h* niu

_S = p_S*c wiêc:

(17)

Teraz mo¿emy podstawiæ do równania (16), wyra¿enie na E_k z równo¶ci (17) i na p_e² z równania (13). Mamy teraz:

p0^2 - 2pS* p0*cos (alfa) + pS^2 = (c^2*(p0 - pS)^2)/c^2 + 2*c* m0*(p0 - pS)

(18)

Podnosz±c do kwadratu (p₀ - p_S) po prawej stronie równania i skracaj±c wyra¿enia podobne po lewej i prawej stronie równo¶ci otrzymujemy:

-2pS* p0*cos (alfa) = -2* p0*pS + 2*c* m0*p0 - 2*c* m0* pS

(19)

Dziel±c obustronnie równanie przez 2, p₀, p_S i przez c*m₀ otrzymujemy:

(1/ (c* m0))*(1 - cos (alfa)) = 1/pS - 1/p0

(20)

Mno¿±c teraz obie strony przez h mamy:

(h/ (c* m0))*(1 - cos (alfa)) = h/pS - h/p0

(21)

Mamy jednak i wcze¶niej zapisan± równo¶æ (5), po wykorzystaniu której w równo¶ci (21) otrzymujemy:

lambda S - lambda0 = (h/ (c* m0))*(1 - cos(alfa))

(22)

Wielko¶æ ( lambda

_S -

₀) jest ró¿nic± miêdzy d³ugo¶ci± fali rozproszonej na elektronie, a d³ugo¶ci± fali padaj±cej. Wielko¶æ tê mo¿na zapisaæ jako: delta

. Natomiast wielko¶æ h/ (c* m₀) wynosi 2,426*10^-12 m. Wielko¶æ ta oznaczona tutaj jako lambda

_c jest nazywana komptonowsk± d³ugo¶ci± fali. Ostatecznie wiêc zmiana d³ugo¶ci fali w czasie rozpraszania na elektronie dana jest wzorem:

(23)

gdzie

jest k±tem pod jakim nast±pi³o rozproszenie.
Okazuje siê, ¿e wzór ten dok³adnie opisuje zmienion± (wyd³u¿on±) falê promieni X. Zmiana ta nastêpuje, gdy fotony zderzaj± siê z elektronami w bloku grafitu. Jednak fotony mog± zderzyæ siê równie¿ z atomami grafitu. W tym przypadku zamiast masy elektronu do wzoru (22) podstawiæ trzeba masê ca³ego atomu. Masa ta jest tak du¿a (w porównaniu z mas± elektronu), ¿e d³ugo¶æ fal rozproszonych jest prawie niezmieniona w stosunku do fal padaj±cych. W widmie promieniowania rozproszonego obserwuje siê wiêc dwie d³ugo¶ci fal odpowiadaj±ce rozproszeniu na elektronach i rozproszeniu na atomach.
Okazuje siê wiêc, ¿e fotony oprócz przenoszenia energii przenosz± tak¿e pêd. Pêd fotonu dany jest wzorem:

(24)

Nied³ugo po podaniu przez Comptona swojej teorii naukowcy przeprowadzili seriê do¶wiadczeñ, które potwierdzi³y opisany przez niego mechanizm rozpraszania. W 1923 roku Bothe i Wilson zaobserwowali elektrony odrzutu. W 1925 roku Bothe i Geiger wykazali, ¿e rozproszony foton i elektron odrzutu pojawiaj± siê w tym samym momencie, a w 1927 roku Bless wyznaczy³ do¶wiadczalnie warto¶æ energii elektronu odrzutu. Wszystkie wyniki do¶wiadczalne zgadza³y siê z przewidywaniami Comptona.