Model Bohra

MODEL BOHRA BUDOWY ATOMU

W XIX wieku i na pocz±tku XX fizycy i chemicy badali zjawisko rozszczepienia ¶wiat³a przez pryzmat. ¦wiat³o to by³o emitowane przez ogrzane zwi±zki chemiczne. ¦wiat³o takie po rozszczepieniu tworzy³o charakterystyczne dla danego zwi±zku widmo. Widmo takie jak siê okaza³o w toku badañ naukowych jest charakterystyczne dla ka¿dego pierwiastka. Zjawisko to pos³u¿y³o badaczom do badania sk³adu chemicznego ró¿nych substancji. Odkryto równie¿ nowe, nie znane wcze¶niej, pierwiastki. Naukowcy konstruowali coraz dok³adniejsze przyrz±dy do badania owego zjawiska. Jedno z takich urz±dzeñ przedstawia.

Widma ró¿nych cia³: S³oñca, wodoru, helu, rtêci
Kolorowy zdjêcie (1000x1200) - 160k

Przyrz±d ten sk³ada³ siê ze ¼ród³a ¶wiat³a, szczeliny, która przepuszcza³a równoleg³± wi±zkê ¶wiat³a, pryzmatu, który rozszczepia³ j± na sk³adowe fale ¶wietlne (fale o mniejszej d³ugo¶ci s± odchylane bardziej, ni¿ fale o wiêkszej d³ugo¶ci). Na ekranie powstawa³ obraz ¶wietlnych pr±¿ków, których po³o¿enie zale¿ne by³o od d³ugo¶ci emitowanych przez dany pierwiastek fal. Ka¿dy pierwiastek przy ogrzewaniu emitowa³ inny zestaw takich fal ¶wietlnych. Naukowcy nauczyli siê cechowaæ odpowiednio te przyrz±dy - spektrografy, tak ¿e potrafili okre¶liæ d³ugo¶ci fal emitowanych przez poszczególne pierwiastki. Stwierdzili równie¿, ¿e wiele linii widma wystêpuje poza zakresem widzialnym - nadfiolecie i podczerwieni. Najprostszym uk³adem widma cechuje siê wodór. Balmer wykaza³, ¿e linie widma wodoru w okolicach obszaru widzialnego mo¿na powi±zaæ prostym równaniem:

(1)

gdzie:

(2)

gdzie:

- d³ugo¶æ danej fali ¶wietlnej, n^'- sta³a równa 2, n - liczba ca³kowita wiêksza b±d¼ równa 3. R jest tak zwan± sta³± Rydberga, wyznaczon± do¶wiadczalnie i równ± oko³o 1,09677 * 10⁷ m ^-1. Jak wiêc widaæ ze wzoru wraz ze spadkiem lambda

(wzrostem x) gêsto¶æ linii ¶wietlnych ro¶nie. Na przyk³ad dla pierwszej linii Balmera - n = 3, d³ugo¶æ fali ¶wietlnej wynosi 6563 Angstremów, dla n = 4 4861, dla n = 5 4341, a dla n = 6 4102.
Uk³ad tych linii zosta³ nazwany seri± Balmera. Oprócz niej dla wodoru istniej± i inne serie :

seria Lymana - le¿±ca w nadfiolecie - opisuje j± podane wy¿ej równanie, ale n^' wynosi 1, a n wiêksze lub równe 2.
seria Paschena - le¿±ca w podczerwieni - n^' wynosi 3, a n jest wiêksze b±d¼ równe 4.
seria Bracketta - le¿±ca w podczerwieni - n^' wynosi 4, a n jest wiêksze b±d¼ równe 5.

    Inne ciê¿sze ni¿ wodór pierwiastki maj± bardziej skomplikowane widma liniowe.
    Opisywane linie powstaj± na skutek emisji przez wzbudzony (ogrzewaniem) atom okre¶lonej d³ugo¶ci fal ¶wietlnych. Wed³ug modelu Rutherforda elektrony znajduj±ce siê poza j±drem musz±, aby nie spa¶æ na nie kr±¿yæ wokó³ niego po pewnych orbitach. Je¿eli do atomu dostarczy siê energiê jego elektrony zostan± odsuniête na wiêksz± odleg³o¶æ od j±dra (zwiêkszy siê ich energia potencjalna i kinetyczna). Bêd± kr±¿yæ po bardziej zewnêtrznych orbitach. Zgodnie z klasycznymi prawami elektrodynamiki kr±¿±cy elektron powinien wytwarzaæ promieniowanie elektromagnetyczne. Promieniowanie to unosi ze sob± czê¶æ energii elektronu. Tak wiêc elektron trac±c swoj± energiê powinien poruszaæ siê po coraz mniejszych orbitach i w koñcu spa¶æ na j±dro. Nic takiego jednak siê nie obserwowa³o. Je¶li rzeczywi¶cie tak by by³o elektron móg³by znajdowaæ siê na dowolnej orbicie (która by siê ca³y czas przy wypromieniowywaniu energii, p³ynnie zmienia³a). Zgodnie z tym wszystkie atomy w badanej próbce powinny znajdowaæ siê w ró¿nych stanach energetycznych (mieæ ró¿n± energiê) i emitowaæ promieniowanie o wszystkich d³ugo¶ciach fal. Widmo powinno byæ ci±g³e, a nie liniowe. Ta niezgodno¶æ miêdzy teori±, a do¶wiadczeniem, doprowadzi³a jednego z najwybitniejszych fizyków pocz±tku XX wieku - Nielsa Bohra do stworzenia nowej teorii opisuj±cej prawa rz±dz±ce atomem.
    W 1913 roku Niels Henrik Bohr opublikowa³ now± teoriê budowy atomów. Przyj±³ on, tak jak wcze¶niej Rutherford, ¿e elektrony kr±¿± po orbitach ko³owych dooko³a j±dra. Przyj±³ on jednak trzy nowe tezy:

W atomie istniej± takie orbity, po których poruszaj±ce siê elektrony nie promieniuj± energii - orbity te nazwa³ stacjonarnymi.
Ka¿da emisja lub te¿ absorpcja energii promieniowania odpowiada przej¶ciu elektronu pomiêdzy dwoma orbitami stacjonarnymi. Promieniowanie emitowane w czasie takiego przej¶cia jest jednorodne i jego czêsto¶æ okre¶lona jest wzorem hv = E₁-E₂, gdzie h - sta³a Plancka, E₁ i E₂ energie uk³adu w obu stanach stacjonarnych.
Prawa mechaniki opisuj± równowagê dynamiczn± elektronów w stanach stacjonarnych, ale nie stosuj± siê do przechodzenia elektronu pomiêdzy dwoma stanami stacjonarnymi.

Elektron emituje b±d¿ absorbuje foton przechodz±c z jenej orbity na drug±

Pierwszy postulat jest niezgodny z prawami klasycznej termodynamiki. Zgodnie z drugim mo¿na obliczaæ teoretycznie energiê linii widmowych wodoru.
Bohr stwierdzi³ równie¿, ¿e orbity stacjonarne, s± to te na których moment pêdu elektronu (moment orbitalny) jest ca³kowit± wielokrotno¶ci± wielko¶ci h/(2*

).
Zgodnie z trzecim postulatem, ruch elektronu na orbicie mo¿na opisaæ klasycznymi równaniami fizycznymi. Wed³ug prawa Newtona si³ê od¶rodkow± dzia³aj±c± na elektron mo¿na okre¶liæ równaniem:

(3)

gdzie v - prêdko¶æ elektronu, r - promieñ orbity, m - masa elektronu. Zgodnie z prawem Coulomba si³a przyci±gania elektrostatycznego dzia³aj±cego na elektron (³adunek j±dra wodoru wynosi e - ³adunek elementarny):

(4)

Dla orbity stacjonarnej obie te si³y równowa¿± siê. Mo¿na wiêc przyrównaæ równanie (1) i (2) i po przekszta³ceniu otrzymuje siê:

(5)

W równaniu tym nie s± znane zarówno warto¶ci r oraz v. Zgodnie z warunkiem Bohra okre¶laj±cym moment pêdu M:

(6)

Moment pêdu elektronu poruszaj±cego siê po orbicie ko³owej okre¶lany jest równaniem:

(7)

Przyrównuj±c równania (6) i (7):

(8)

Wyliczaj±c z tego wzoru v jest:

(9)

I podstawiaj±c to równanie do (5) jest:

(10)

Maj±c to równanie mo¿na obliczyæ ka¿d± orbitê w modelu atomu Bohra - wszystkie wielko¶ci w nawiasie kwadratowym s± znane, a n jest ca³kowit± liczb± wiêksz± lub równ± 1 (dla n = 1 otrzymuje siê r pierwszej orbity stacjonarnej). Liczba n zosta³a nazwana g³ówn± liczb± kwantow±. Po podstawieniu do równania (10) warto¶ci

, e, m, h, otrzymuje siê zale¿no¶æ promienia danej orbity od liczby kwantowej zgodnie ze wzorem:

(11)

Stosuj±c do¶wiadczalne metody pomiarowe naukowcy wyznaczyli przybli¿ony promieñ atomu. Wyniós³ on 0,5*10^-8 co jest w przybli¿eniu równe wielko¶ci pierwszej orbity Bohra. Naukowiec podj±³ siê równie¿ obliczenia ca³kowitej energii elektronu wodoru dla dowolnej orbity stacjonarnej. Energia ta jest sum± energii potencjalnej i kinetycznej elektronu. Energiê potencjaln± mo¿na policzyæ ze wzoru:

(12)

Energia kinetyczna dana jest równaniem:

(13)

Ale ze wzoru (3):

(14)

£±cz±c te dwa wzory i dodaj±c wyliczon± we wzorze (12) energiê potencjaln± jest:

(15)

W tym wzorze wszystkie wielko¶ci po prawej stronie s± znane.
Teoria Bohra t³umaczy³a powstawanie liniowych widm atomu wodoru. Za³ó¿my, ¿e jedyny elektron tego atomu jest na pierwszej orbicie stacjonarnej. Po dostarczeniu do atomu energii elektron mo¿e przeskoczyæ na któr±¶ z wy¿szych orbit. Nastêpnie elektron znajduj±cy siê na wy¿szej orbicie ni¿ pierwsza emituje energiê i wraca na ni±. Energia emitowana jest w postaci promieniowania, którego czêsto¶æ (v) jest równa:

(16)

gdzie E_n - energia elektronu na orbicie, z której elektron przechodzi, E₁ - energia na pierwszej orbicie. Po wykorzystani wzoru (15) mamy:

v = [(2*pi^2*m*e^4)/(h^3]*[(1/1^2)-(1/n^2]

(17)

gdzie n - orbita, z której przechodzi elektron. Wielko¶æ (2*

²*m*e⁴*k²)/h³ po podstawieniu danych liczbowych jest równa sta³ej Rydberga R. Tak wiêc wielko¶æ R wyznaczona do¶wiadczalnie jest równa tej wielko¶ci wyznaczonej teoretycznie na podstawie teorii Bohra.
    W identyczny sposób jak ten dla przechodzenia elektronu na pierwsz± orbitê, mo¿na policzyæ energiê wypromieniowywan±, gdy elektron przechodzi z wy¿szej orbity na dowoln± ni¿sz± (np. z pi±tej na trzeci±). Policzone przez Bohra czêstotliwo¶ci promieniowania dla kolejnych przej¶æ zgadzaj± siê z danymi do¶wiadczalnymi (z liniami wodoru).
    Teoria Bohra dobrze opisuje widma atomów, wokó³ których kr±¿y jeden elektron. Atomami takimi s±: H, He⁺, Li²⁺. Nie opisuje ona niestety widm atomów obieganych przez dwa lub wiêcej elektronów.
    Nied³ugo odkryto te¿ nowe zjawisko. Dostrze¿ono, i¿ poszczególne linie widm atomów nie s± jednorodne, lecz sk³adaj± siê z kilku po³o¿onych bardzo blisko pojedynczych linii. Na przyk³ad dla n = 2 wystêpuj± dwie takie linie, tak jakby istnia³y dwie orbity elektronowe o prawie identycznych energiach. Problem ten rozwi±za³ w 1916 roku Arnold Sommerfeld.