Werner Heisenberg (1901-1976) postanowił zmierzyć się z tym problemem. Do problemu tego naukowiec podszedł decydując się oprzeć na tym co można zmierzyć doświadczalnie, czyli na liniach widmowych. Stworzył teorię zwaną mechaniką macierzową. Dzięki obliczaniu pewnych skomplikowanych macierzy (pewnych wyrażeń matematycznych) można było otrzymać te same wyniki co z teorii Bohra i to bez odwoływania się do dziwnych orbit elektronów. Macierze Heisenberga tłumaczyły nawet więcej faktów niż wcześniejsza teoria Bohra. Niestety jak to z teoriami opartymi na skomplikowanej matematyce bywa była ona bardzo trudna i dlatego niezbyt lubiana przez fizyków.

W 1925 roku 38 letni Erwin Schrodinger (1887-1961) przymierzył się do tego problemu. Zainteresowany falowym opisem elektronu zaproponowanym przez de Broglie'a postanowił stworzyć teorię, w której opis ten byłby wykorzystany. Stworzył równanie, w którym elektron jest po prostu traktowany tak jakby był falą, falą materii. Równanie to jest nazywane równaniem Schrodingera. - funkcja falowa - opisana przez równanie Schrodingera mówi o wszystkich własnościach elektronu, o których wiemy albo które możemy zmierzyć. jest zmienna w czasie i przestrzeni. Elektrony według naukowca miały być po prostu falami materii, a ich postać cząsteczkowa, jak twierdził jest po prostu iluzją. Równanie Schrodingera ( kwadrat funkcji falowej ) opisywało gęstość rozkładu tej fali materii. W atomie wodoru na przykład fale materii były gęste w miejscach gdzie znajdowały się orbity opisane teorią Bohra. Rozwiązując równanie można było obliczyć bezpośrednio promienie tych orbit.

    Więcej, dzięki modelowi zaproponowanemu przez Schrodingera można było obliczać wielkości promieni orbit, a także tłumaczyć położenia linii widmowych różnych innych pierwiastków (nie tak jak do tej pory tylko wodoru).
    Równanie Schrodingera dobrze opisuje nie tylko elektrony. Jest ono stosowane także do opisu innych cząsteczek takich jak protony, neutrony, czy wręcz całe atomy.
    Poza tym teoria Schrodingera jest znacznie prostsza, choć równoważna teorii macierzowej Heisenberga.
    Jednak interpretacja fali Schrodingera była błędna. Fakty doświadczalne wskazywały na to, że nie może to być fala materii. Jak bowiem wytłumaczyć następujący obserwowalny fakt:
    Wyobraźmy sobie, że dysponujemy pewną metalową siatką, którą podłączmy do baterii o znanym napięciu. Jeżeli teraz będziemy ostrzeliwać tą siatkę elektronami, które mają energię większą niż energia tak skonstruowanej bariery, to powinny ją bez problemu przechodzić. Jeżeli teraz elektrony mają energię niższą niż energia bariery to nie powinny jej przenikać. Wszystkie powinny być hamowane i następnie odpychane - tak jakby uległy odbiciu. (nasuwa się tutaj analogia - jeżeli mamy wysoki mur i rzucimy piłkę wystarczająco mocno, przeleci nad nim; jeżeli natomiast rzucimy ją znacznie słabiej, odbije się od muru i wyląduje po stronie rzucającego). Tak powinno być. Jednak fakty doświadczalne tego nie potwierdzają. Nawet jeśli energia bariery jest większa niż bombardujących ją elektronów, część elektronów i tak przejdzie przez barierę (reszta ulegnie odbiciu). Według równania Schrodingera część fali elektronu przechodzi przez barierę, reszta zaś ulega odbiciu. Ale w takim razie działo by się coś dziwnego z elektronem - część przenikała by, część zostawała by odbita. Ale nie obserwuje się przecież części elektronów.
    Jak można wytłumaczyć ten fakt?

W 1926 roku Max Born stwierdził, że opisany przez Schrodingera kwadrat funkcji falowej (2) opisuje po prostu prawdopodobieństwo znalezienia się elektronu w danym miejscu. Funkcja jest zależna od czasu i położenia i jeśli 2 osiąga dużą wartość w danym miejscu, również duże jest prawdopodobieństwo znalezienia się elektronu w tym miejscu. Natomiast tam gdzie 2 jest małe, prawdopodobieństwo jest również małe. Tam, gdzie wartość 2 wynosi 0 elektron nie może się znaleźć.

    Możemy przewidzieć położenie elektronu tylko z określonym prawdopodobieństwem. Na przykład w atomie wodoru prawdopodobieństwo znalezienia się elektronu będącego w stanie podstawowym w kuli o promieniu 10^-8 cm wokół jądra wynosi około 80 procent.
    Tak więc opisane wcześniej zjawisko można teraz łatwo wytłumaczyć. Część fali przenika przez barierę i dzięki temu za barierą istnieje pewne niezerowe prawdopodobieństwo znalezienia się elektronu. Elektron więc może z pewnym prawdopodobieństwem przeniknąć przez barierę potencjału. Na przykład ostrzeliwując siatkę 100 elektronami, 85 ulegnie odbiciu, a 15 przeniknie przez barierę.
    Podsumowując Born stwierdził, że elektrony zachowują się w czasie pomiarów tak jakby były cząsteczkami, natomiast kiedy indziej ich rozkład w przestrzeni jest zgodny jest z prawdopodobieństwem wynikającym z równania Schrodingera. Tak więc ² jest opisem prawdopodobnych położeń elektronu.
    Zasady prawdopodobieństwa stosuje się także do opisywania przechodzenia elektronów między stanami energetycznymi. Jeżeli elektron znajdujący się na danej orbicie może przeskoczyć na więcej niż jedną niższą orbitę to ma on pewne prawdopodobieństwo, przeskoczenia na każdą z nich.
    Dzięki równaniu Schrodingera i podaniu interpretacji tego równania przez Borna udało się zrozumieć zachowanie się atomów różnych pierwiastków, łączenie się pierwiastków w związki chemiczne. Udało się zbudować takie potężne urządzenia do badań mikroświata jak mikroskop elektronowy i protonowy.
    W roku 1927 Paul Dirac opracował równanie, które opisywało w bardzo dobry sposób falę elektronową. Równanie to tłumaczyło i przewidywało wiele faktów związanych z elektronem. Jedyny problem było to, iż rozwiązując je dostajemy zamiast jednego dwa rozwiązania. Wskazywało to na to, iż oprócz elektronu o ładunku ujemnym musi istnieć cząstka identyczna jak elektron lecz o ładunku dodatnim.
    Cząstka ta została odkryta w 1932 roku przez Carla Andersona. Została nazwana pozytonem - pierwsza antycząstka (cząstka antymaterii) została odkryta.
    Również w roku 1927 Heisenberg podał zasadę nieoznaczoności. Mówi ona o tym, iż istnieją pary wielkości odnoszące się do mikroświata, których nie można jednocześnie znać z całkowitą dokładnością. Na przykład nie jest możliwe jednoczesne dokładne określenie położenia cząstki i jej pędu w danej chwili. Iloraz nieokreśloności tych dwu wielkości musi być większy (równy) stałej Plancka (h).

            (1)

            (2)