Berechnung des Goldenen Schnitts

1.		 Kommen bei einer Streckenteilung rationale Proportionen vor, dann gilt obige Beziehung M/m = (M+m)/M nicht.
  Beisp.: Wird eine Strecke so geteilt, daß die Gesamtstrecke zum größeren Teil sich wie 8 : 5 verhält (8 : 5 = 1,6), dann verhält sich die größere Teilstrecke zur kleineren wie 5 : 3 = 1,666666.. , d.h. die beiden Proportionen sind nicht gleich.
Dies ist bei allen rationalen Proportionen so, d.h. solchen, bei denen Zähler und Nenner natürliche Zahlen sind.
2.

Die Proportion = bzw. ist irrational, und zwar gilt: = = 1,61803398874989... ~ 1,618

Beweis:

= <--> = 1+

Setze = bzw. = , dann erhält man:

= l + <--> - l - = 0 und nach Multiplikation der Gleichung mit :
r² - r - l = 0 <--> r ½ = *+ l = =

Da die Strwecken M und m positiv sind, ist auch = positiv, d.h. = =