Modely hyperbolickej geometrie
Najprv pozrime niekoľko základných vecí. Vopred konštatujme: hyperbolické modely slúžia len teoretické ciele, nezobrazujú presne hyperbolickú rovinu, pretože to existuje v krivom priestore. Budeme sa zaoberať s dvomi modelmi, s hornou polrovinou a s Ponciarovým kruhovým modelom, pozrime ako to funguje. Na Ponciarovom kruhovom modele sú priamky také kruhy, ktoré sú kolmé na ohraničný kruh, kým na polrovine sú také polkruhy, ktoré majú stredobod na dolnej ohraničnej priamke.
Teraz sa zaoberajme s rôznymi geometrickými prvkami. Začneme s uhlami. V hyperbolickej geometrie slovo uhol znamená: čo uzavria dve spoluzačiatočné polpriamky (ako v Euklidovej geometrie). Áno, ale polpriamky v našom prípade sú úseky jednej kontúry. Preto dve strany uhla je priamka kreslená zo začiatočného bodu (dotknutý bod je priesečníkom dvoch polpriamok).
Teraz už vieme, že čo rozumieme pod pojmom uhol, spoznajme sa s jednou najznámejšou vetou hyperbolickej geometrie, podľa čoho počet vnútorných uhlov trojuholníka nie je 180°. Toto sa vyplýva z definície uhla, ako aj obrázka ukáže.
Teraz nasleduje porovnanie: falšovanie Euklidovej vety a potvrdenie v hyperbolickej geometrie.
Všeobecné trojuholníky:
- Výšky trojuholníka rezajú v jednom bode.
- Stredostranné kolmé priesečky trojuholníka rezajú v jednom bode
- Osy uhla trojuholníka rezajú v jednom bode.
- V ktoromkoľvek trojuholníku súčet dvoch strán je väčší ako tretia strana (nerovnosť trojuholníka)
- V ktoromkoľvek trojuholníku výsledok výpočtu „základ násobený s výškou“ je nezávislý od toho, že ktorý základ a výšku patriaci k tomu si vyberieme. Napríklad v trojuholníku ABC AB*mc = BC*ma (to nie je pravda, lebo v hyperbolickej rovine nie tak vypočítame obsah trojuholníka).
Teraz pozrime Euklidovú paralelnú axiomu! V Euklidovej rovine je pravda: keď je daná priamka e a bod P, tak cez P bod môžeme kresliť len jednu priamku, ktorá je paralelná s priamkou e. V hyperbolickej geometrie nie je to tak (tie priamky sú paralelné, ktoré sú v jednej rovine, a nerezajú). Axioma sa vyzerá tak v Euklidovej geometrie: Keď daná je priamka a bod, ktorý neleží na priamke, tak môžeme kresliť dve priamky, ktorý je paralelný s danou priamkou. Pretože na hyperbolickej rovine hyperbolický paralelnostný axiom dokonale sa znáša s ostatnými axiomami Euklidovej geometrie, János Bolyai písal otcovi: „...z ničoho som stvoril nový svet...“.
Teraz, keď sme už pochopili dôležité rozdiely medzi hyperbolickou a Euklidovou geometriou, pozrime trošku zložitejšiu tému: Ponciarový kruhový model!
Vtedy je model modelom hyperbolickej geometrie, keď súvislosť medzi bodmi, uhlami, atď. sú pravdivé na svojom modele, vtedy je to hodnoverný hyperbolický model.
Ponciarový kruhový model je prakticky kruh C v Euklidovej rovine.
- Jeho body sú K-body.
- Jeho priamky sú K-priamky (priamky, ktoré sú kolmé na C a sú vo vnútri C).
- Na ňom sú K-kruhy (množina bodov K je na rovnakom vzdialenosti od daného bodu K).
Horná polrovina je podrobná. Jeho základ je priamka ST (ktorý je os x).
- Body F sú v hornej polrovine (body padnuté na jednej strany priamky ST, ale nie body priamky ST, množina všetkých bodov F Ψ)
- Jeho priamky sú F-priamky (alebo taký polkruh, ktorý má stred na priamke ST, alebo taká časť priamke Ψ, ktorá je kolmá na ST).
